für x, wie er oben behufs Ermittelung der unteren Grenze aufgestellt worden, das Si vor das
[Formel 1]
zu schieben.
Etwas derartiges gelingt nur durch ein Verfahren, das eine gewisse Kühnheit besitzt:
Die Methode besteht darin: auch mit unendlich (oder unbegrenzt) vielfachen Produkten P zu operiren, ja sogar mit einem solchen, dessen P-zeichen eventuell ein Kontinuum bilden würden (sofern man es ausführlich hinschreiben wollte), indem etwa jedem Punkte der Ge- raden ein P nach einer eigens benannten Produktationsvariabeln zu ent- sprechen hat! Auch auf derartige Produkte und Summen dürfen wir unbedenklich die Schlussweisen übertragen und anwenden, die unsre auf dem dictum de omni beruhenden Aussagenschemata gewährleisten.
Solches geschieht an dieser Stelle in der gesamten Mathematik wol erstmals. Ich will deshalb den Studirenden heuristisch den Gang führen, auf welchem sich die Methode mir aufdrängte.
Ich versuchte zunächst den Partikularfall y unsres Problems, wo die Lösung gelang, dahin zu erweitern, dass ich -- als nächste Unteraufgabe -- zu ermitteln suchte:
[Formel 2]
. Wir haben:
[Formel 3]
. Nun ist aber:
[Formel 4]
, nämlich gleich 0 für (mk)(nk), weil dann unter andern ein Faktor mit uh k = 0, uh m = 1, uh n = 1 vorkommen wird, und gleich 1 für (m = k) + (n = k). Folglich: zh k = PmPn(1'k m + am i + 1'k n + an j) = Pm(1'k m + am i) + Pn(1'k n + an j) = = (1' j a)k i + (1' j a)k j = {(1' j a) ; i + (1' j a) ; j}k h, womit gefunden ist: z = (i + j) ; (a j 1').
Wenn nun die Lösung unsrer Aufgabe 12 unschwer gelang für den Fall, wo b = i ein Element ist, sowol als auch für den, wo b = i + j ein System von zwei Elementen vorstellt, so ist nicht abzusehen, warum sie nicht auch für den Fall gelingen sollte, wo b = b ; 1 System überhaupt, mithin eine Summe von irgendvielen Elementen ist, die eventuell als Punkte auch kontinuirlich eine Strecke ausfüllen. Man bemerkt sogleich, dass die Untersuchung lediglich quantitativ sich muss verallgemeinern lassen, und in der That werden wir finden:
[Formel 5]
.
Elfte Vorlesung.
für x, wie er oben behufs Ermittelung der unteren Grenze aufgestellt worden, das Σi vor das
[Formel 1]
zu schieben.
Etwas derartiges gelingt nur durch ein Verfahren, das eine gewisse Kühnheit besitzt:
Die Methode besteht darin: auch mit unendlich (oder unbegrenzt) vielfachen Produkten Π zu operiren, ja sogar mit einem solchen, dessen Π-zeichen eventuell ein Kontinuum bilden würden (sofern man es ausführlich hinschreiben wollte), indem etwa jedem Punkte der Ge- raden ein Π nach einer eigens benannten Produktationsvariabeln zu ent- sprechen hat! Auch auf derartige Produkte und Summen dürfen wir unbedenklich die Schlussweisen übertragen und anwenden, die unsre auf dem dictum de omni beruhenden Aussagenschemata gewährleisten.
Solches geschieht an dieser Stelle in der gesamten Mathematik wol erstmals. Ich will deshalb den Studirenden heuristisch den Gang führen, auf welchem sich die Methode mir aufdrängte.
Ich versuchte zunächst den Partikularfall y unsres Problems, wo die Lösung gelang, dahin zu erweitern, dass ich — als nächste Unteraufgabe — zu ermitteln suchte:
[Formel 2]
. Wir haben:
[Formel 3]
. Nun ist aber:
[Formel 4]
, nämlich gleich 0 für (m ≠ k)(n ≠ k), weil dann unter andern ein Faktor mit uh k = 0, uh m = 1, uh n = 1 vorkommen wird, und gleich 1 für (m = k) + (n = k). Folglich: zh k = ΠmΠn(1'k m + am i + 1'k n + an j) = Πm(1'k m + am i) + Πn(1'k n + an j) = = (1' ɟ a)k i + (1' ɟ a)k j = {(1' ɟ a) ; i + (1' ɟ a) ; j}k h, womit gefunden ist: z = (ĭ + j̆) ; (ă ɟ 1').
Wenn nun die Lösung unsrer Aufgabe 12 unschwer gelang für den Fall, wo b = i ein Element ist, sowol als auch für den, wo b = i + j ein System von zwei Elementen vorstellt, so ist nicht abzusehen, warum sie nicht auch für den Fall gelingen sollte, wo b = b ; 1 System überhaupt, mithin eine Summe von irgendvielen Elementen ist, die eventuell als Punkte auch kontinuirlich eine Strecke ausfüllen. Man bemerkt sogleich, dass die Untersuchung lediglich quantitativ sich muss verallgemeinern lassen, und in der That werden wir finden:
[Formel 5]
.
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[512/0526]
Elfte Vorlesung.
für x, wie er oben behufs Ermittelung der unteren Grenze aufgestellt
worden, das Σi vor das [FORMEL] zu schieben.
Etwas derartiges gelingt nur durch ein Verfahren, das eine gewisse
Kühnheit besitzt:
Die Methode besteht darin: auch mit unendlich (oder unbegrenzt)
vielfachen Produkten Π zu operiren, ja sogar mit einem solchen,
dessen Π-zeichen eventuell ein Kontinuum bilden würden (sofern man
es ausführlich hinschreiben wollte), indem etwa jedem Punkte der Ge-
raden ein Π nach einer eigens benannten Produktationsvariabeln zu ent-
sprechen hat! Auch auf derartige Produkte und Summen dürfen wir
unbedenklich die Schlussweisen übertragen und anwenden, die unsre
auf dem dictum de omni beruhenden Aussagenschemata gewährleisten.
Solches geschieht an dieser Stelle in der gesamten Mathematik wol
erstmals. Ich will deshalb den Studirenden heuristisch den Gang führen,
auf welchem sich die Methode mir aufdrängte.
Ich versuchte zunächst den Partikularfall y unsres Problems, wo die
Lösung gelang, dahin zu erweitern, dass ich — als nächste Unteraufgabe —
zu ermitteln suchte:
[FORMEL].
Wir haben:
[FORMEL].
Nun ist aber:
[FORMEL],
nämlich gleich 0 für (m ≠ k)(n ≠ k), weil dann unter andern ein Faktor
mit uh k = 0, uh m = 1, uh n = 1 vorkommen wird, und gleich 1 für
(m = k) + (n = k). Folglich:
zh k = ΠmΠn(1'k m + am i + 1'k n + an j) = Πm(1'k m + am i) + Πn(1'k n + an j) =
= (1' ɟ a)k i + (1' ɟ a)k j = {(1' ɟ a) ; i + (1' ɟ a) ; j}k h,
womit gefunden ist:
z = (ĭ + j̆) ; (ă ɟ 1').
Wenn nun die Lösung unsrer Aufgabe 12 unschwer gelang für den
Fall, wo b = i ein Element ist, sowol als auch für den, wo b = i + j ein
System von zwei Elementen vorstellt, so ist nicht abzusehen, warum sie
nicht auch für den Fall gelingen sollte, wo b = b ; 1 System überhaupt,
mithin eine Summe von irgendvielen Elementen ist, die eventuell als Punkte
auch kontinuirlich eine Strecke ausfüllen. Man bemerkt sogleich, dass die
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 512. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/526>, abgerufen am 18.05.2024.
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