Eine noch weiter gehende Ausdehnung des Satzes werden wir am Schluss des Paragraphen anführen.
Die Peirce'schen Sätze 1) und unsre Erweiterung derselben bilden den ersten Grundstock eines Kapitals von Sätzen und Methoden, welche uns in den Stand setzen: in unsrer Disziplin Summationen S aus- zuführen, sowie Produkte P auszuwerten.
Bei vielen Untersuchungen ist es von Wert, das identische Pro- dukt (die Gemeinheit) angeben zu können aller der Relative x, welche eine bestimmte Bedingung erfüllen, z. B. Wurzeln einer gegebnen Gleichung sind -- wie solches schon in der neunten Vorlesung zutage trat; desgleichen kann die Frage nach der identischen Summe von all den Wurzeln belangreich sein. Darum schon verdient die -- nicht ganz leichte -- Kunst des Summirens und der Produktermittelung gepflegt und systematisch ausgebildet zu werden. Vollends trat die- selbe am Schluss des § 28 als eine für die Probleme des Eliminirens, und Schliessens überhaupt, ganz fundamentale zutage.
Als der Sache nach hierher gehörig, wenn auch nicht mehr unter Peirce's Publikationen fallend, will ich demgemäss nun eine Reihe von (eignen) Untersuchungen vortragen, welche auf die Vermehrung jenes Kapitals abzielen.
Es handelt sich jeweils um Summen S und Produkte P, welche die "absolute" Erstreckung: über den ganzen Denkbereich, haben. Je nachdem aber der laufende Zeiger ein Elementsymbol i oder j, etc. und dessen Erstreckung der erste Denkbereich 11 ist, oder aber als Summations- resp. Produktationsvariable ein binäres Relativ u von beliebiger Art auftritt mit dem zweiten Denkbereiche 12 als Er- streckung -- je nachdem können wir Summations- und Produktermitte- lungs-Aufgaben von zweierlei Stufe unterscheiden.
Während Peirce's Sätze 1) schon der zweiten Stufe angehören, wollen wir damit beginnen, den Aufgaben erster Stufe auch unsre Aufmerksamkeit zuzuwenden.
Zur Einleitung wird der Leser sich leichtlich diese Gruppe von Sätzchen aus der Koeffizientenevidenz beweisen: 7)
Si = Sin = Si = Sin = 1
Pi = Pin = Pi = Pin = 0
8)
Sii = 1' = P(i + in) = P(in + i)
Siin = Sini = 0' = P(in + in)
9)
* Sinin = 1
P(i + i) = 0,
worin als laufender Zeiger immer i zu denken ist.
Behufs des Beweises braucht man sich nur für die S resp. das P
Schröder, Algebra der Relative. 32
§ 29. Die Produktir- und Summirprobleme.
Eine noch weiter gehende Ausdehnung des Satzes werden wir am Schluss des Paragraphen anführen.
Die Peirce’schen Sätze 1) und unsre Erweiterung derselben bilden den ersten Grundstock eines Kapitals von Sätzen und Methoden, welche uns in den Stand setzen: in unsrer Disziplin Summationen Σ aus- zuführen, sowie Produkte Π auszuwerten.
Bei vielen Untersuchungen ist es von Wert, das identische Pro- dukt (die Gemeinheit) angeben zu können aller der Relative x, welche eine bestimmte Bedingung erfüllen, z. B. Wurzeln einer gegebnen Gleichung sind — wie solches schon in der neunten Vorlesung zutage trat; desgleichen kann die Frage nach der identischen Summe von all den Wurzeln belangreich sein. Darum schon verdient die — nicht ganz leichte — Kunst des Summirens und der Produktermittelung gepflegt und systematisch ausgebildet zu werden. Vollends trat die- selbe am Schluss des § 28 als eine für die Probleme des Eliminirens, und Schliessens überhaupt, ganz fundamentale zutage.
Als der Sache nach hierher gehörig, wenn auch nicht mehr unter Peirce’s Publikationen fallend, will ich demgemäss nun eine Reihe von (eignen) Untersuchungen vortragen, welche auf die Vermehrung jenes Kapitals abzielen.
Es handelt sich jeweils um Summen Σ und Produkte Π, welche die „absolute“ Erstreckung: über den ganzen Denkbereich, haben. Je nachdem aber der laufende Zeiger ein Elementsymbol i oder j, etc. und dessen Erstreckung der erste Denkbereich 11 ist, oder aber als Summations- resp. Produktationsvariable ein binäres Relativ u von beliebiger Art auftritt mit dem zweiten Denkbereiche 12 als Er- streckung — je nachdem können wir Summations- und Produktermitte- lungs-Aufgaben von zweierlei Stufe unterscheiden.
Während Peirce’s Sätze 1) schon der zweiten Stufe angehören, wollen wir damit beginnen, den Aufgaben erster Stufe auch unsre Aufmerksamkeit zuzuwenden.
Zur Einleitung wird der Leser sich leichtlich diese Gruppe von Sätzchen aus der Koeffizientenevidenz beweisen: 7)
Σi = Σī = Σĭ = Σī̆ = 1
Πi = Πī = Πĭ = Πī̆ = 0
8)
Σiĭ = 1' = Π(i + ī̆) = Π(ī + ĭ)
Σiī̆ = Σīĭ = 0' = Π(ī + ī̆)
9)
* Σīī̆ = 1
Π(i + ĭ) = 0,
worin als laufender Zeiger immer i zu denken ist.
Behufs des Beweises braucht man sich nur für die Σ resp. das Π
Schröder, Algebra der Relative. 32
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§ 29. Die Produktir- und Summirprobleme.
Eine noch weiter gehende Ausdehnung des Satzes werden wir am
Schluss des Paragraphen anführen.
Die Peirce’schen Sätze 1) und unsre Erweiterung derselben bilden
den ersten Grundstock eines Kapitals von Sätzen und Methoden, welche
uns in den Stand setzen: in unsrer Disziplin Summationen Σ aus-
zuführen, sowie Produkte Π auszuwerten.
Bei vielen Untersuchungen ist es von Wert, das identische Pro-
dukt (die Gemeinheit) angeben zu können aller der Relative x, welche
eine bestimmte Bedingung erfüllen, z. B. Wurzeln einer gegebnen
Gleichung sind — wie solches schon in der neunten Vorlesung zutage
trat; desgleichen kann die Frage nach der identischen Summe von all
den Wurzeln belangreich sein. Darum schon verdient die — nicht
ganz leichte — Kunst des Summirens und der Produktermittelung
gepflegt und systematisch ausgebildet zu werden. Vollends trat die-
selbe am Schluss des § 28 als eine für die Probleme des Eliminirens,
und Schliessens überhaupt, ganz fundamentale zutage.
Als der Sache nach hierher gehörig, wenn auch nicht mehr unter
Peirce’s Publikationen fallend, will ich demgemäss nun eine Reihe
von (eignen) Untersuchungen vortragen, welche auf die Vermehrung
jenes Kapitals abzielen.
Es handelt sich jeweils um Summen Σ und Produkte Π, welche
die „absolute“ Erstreckung: über den ganzen Denkbereich, haben. Je
nachdem aber der laufende Zeiger ein Elementsymbol i oder j, etc.
und dessen Erstreckung der erste Denkbereich 11 ist, oder aber als
Summations- resp. Produktationsvariable ein binäres Relativ u von
beliebiger Art auftritt mit dem zweiten Denkbereiche 12 als Er-
streckung — je nachdem können wir Summations- und Produktermitte-
lungs-Aufgaben von zweierlei Stufe unterscheiden.
Während Peirce’s Sätze 1) schon der zweiten Stufe angehören,
wollen wir damit beginnen, den Aufgaben erster Stufe auch unsre
Aufmerksamkeit zuzuwenden.
Zur Einleitung wird der Leser sich leichtlich diese Gruppe von
Sätzchen aus der Koeffizientenevidenz beweisen:
7) Σi = Σī = Σĭ = Σī̆ = 1 Πi = Πī = Πĭ = Πī̆ = 0
8) Σiĭ = 1' = Π(i + ī̆) = Π(ī + ĭ) Σiī̆ = Σīĭ = 0' = Π(ī + ī̆)
9) * Σīī̆ = 1 Π(i + ĭ) = 0,
worin als laufender Zeiger immer i zu denken ist.
Behufs des Beweises braucht man sich nur für die Σ resp. das Π
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 497. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/511>, abgerufen am 17.05.2024.
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