Zugunsten unsrer beiden a ; b und a j b erzeugenden Spezies sind diese Bezeichnungsarten samt den zugehörigen Benennungen mit Recht in 9c fallen gelassen. In ihnen jedoch finden sich die Formeln 1) erstmals auf 5 p. 55 mitgeteilt, wobei begreiflich viele Wiederholungen unterlaufen, nämlich, was für ein a, b, .. schon allgemein gesagt worden, für ein an, .. nochmals statuirt wird -- Wiederholungen, die blos in der älteren Be- zeichnung nicht als solche zutage treten.
Ähnliches gilt inbezug auf die 5 p. 56 unter den Überschriften "Class 1" bis "Class 4" von Peirce gegebnen Formelkomplexe, auf die wir vielleicht noch zurückkommen.
Übrigens lassen Peirce's Sätze 1) sich sogleich verallgemeinern zu den folgenden: 6)
[Formel 1]
.
Beweis ähnlich wie oben. Es ist: au ; b + cun ; d = (ac + acn)u ; (bd + bdn) + (ac + anc)un ; (bd + bnd) = = ac ; bd + R, wo R = acu ; bdn + acnu ; bd + acnu ; bdn + + acun ; bnd + ancun ; bd + ancun ; bnd bedeutet, und -- unter x das erste P in 5) verstanden --
[Formel 2]
sein muss. Es bleibt also nur PR = 0 zu beweisen. Nun ist:
[Formel 3]
.
Hält man aber multiplikativ zusammen ein jedes der drei Produkte acbdn, acnbd, acnbdn mit jedem der dreie acbnd, ancbd, ancbnd, so bemerkt man, dass allemal mindestens zwei Faktoren zusammentreffen, die Negate von einander sind, und das verhält sich nicht anders, wenn die beiden ersten Faktoren in jedem dieser sechs Produkte mit dem Suffix ih, die beiden letzten mit dem hj behaftet sind. Es ist sonach für jedes h: ahbh = 0. Diese Gleichung ist aber die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ui h sich der Forderung ahui h + bhuni h = 0 gemäss bestimmen lasse. Für ein bestimmtes ij kann also der Forderung Ri j = 0 dadurch genügt werden, dass nach h jedes ui h als Wurzel letztrer Gleichung angenommen wird, und damit wird auch
[Formel 4]
gleich 0 werden. Im
[Formel 5]
fällt mithin auf jede Stelle mindestens eine Niete und muss deshalb PR = 0 sein, q. e. d.
Elfte Vorlesung.
Zugunsten unsrer beiden a ; b und a ɟ b erzeugenden Spezies sind diese Bezeichnungsarten samt den zugehörigen Benennungen mit Recht in 9c fallen gelassen. In ihnen jedoch finden sich die Formeln 1) erstmals auf 5 p. 55 mitgeteilt, wobei begreiflich viele Wiederholungen unterlaufen, nämlich, was für ein a, b, ‥ schon allgemein gesagt worden, für ein ā, ‥ nochmals statuirt wird — Wiederholungen, die blos in der älteren Be- zeichnung nicht als solche zutage treten.
Ähnliches gilt inbezug auf die 5 p. 56 unter den Überschriften „Class 1“ bis „Class 4“ von Peirce gegebnen Formelkomplexe, auf die wir vielleicht noch zurückkommen.
Übrigens lassen Peirce’s Sätze 1) sich sogleich verallgemeinern zu den folgenden: 6)
[Formel 1]
.
Beweis ähnlich wie oben. Es ist: au ; b + cū ; d = (ac + ac̄)u ; (bd + bd̄) + (ac + āc)ū ; (bd + b̄d) = = ac ; bd + R, wo R = acu ; bd̄ + ac̄u ; bd + ac̄u ; bd̄ + + acū ; b̄d + ācū ; bd + ācū ; b̄d bedeutet, und — unter x das erste Π in 5) verstanden —
[Formel 2]
sein muss. Es bleibt also nur ΠR = 0 zu beweisen. Nun ist:
[Formel 3]
.
Hält man aber multiplikativ zusammen ein jedes der drei Produkte acbd̄, ac̄bd, ac̄bd̄ mit jedem der dreie acb̄d, ācbd, ācb̄d, so bemerkt man, dass allemal mindestens zwei Faktoren zusammentreffen, die Negate von einander sind, und das verhält sich nicht anders, wenn die beiden ersten Faktoren in jedem dieser sechs Produkte mit dem Suffix ih, die beiden letzten mit dem hj behaftet sind. Es ist sonach für jedes h: αhβh = 0. Diese Gleichung ist aber die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ui h sich der Forderung αhui h + βhūi h = 0 gemäss bestimmen lasse. Für ein bestimmtes ij kann also der Forderung Ri j = 0 dadurch genügt werden, dass nach h jedes ui h als Wurzel letztrer Gleichung angenommen wird, und damit wird auch
[Formel 4]
gleich 0 werden. Im
[Formel 5]
fällt mithin auf jede Stelle mindestens eine Niete und muss deshalb ΠR = 0 sein, q. e. d.
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Elfte Vorlesung.
Zugunsten unsrer beiden a ; b und a ɟ b erzeugenden Spezies sind diese
Bezeichnungsarten samt den zugehörigen Benennungen mit Recht in 9c
fallen gelassen. In ihnen jedoch finden sich die Formeln 1) erstmals auf
5 p. 55 mitgeteilt, wobei begreiflich viele Wiederholungen unterlaufen,
nämlich, was für ein a, b, ‥ schon allgemein gesagt worden, für ein ā, ‥
nochmals statuirt wird — Wiederholungen, die blos in der älteren Be-
zeichnung nicht als solche zutage treten.
Ähnliches gilt inbezug auf die 5 p. 56 unter den Überschriften „Class 1“
bis „Class 4“ von Peirce gegebnen Formelkomplexe, auf die wir vielleicht
noch zurückkommen.
Übrigens lassen Peirce’s Sätze 1) sich sogleich verallgemeinern
zu den folgenden:
6) [FORMEL].
Beweis ähnlich wie oben. Es ist:
au ; b + cū ; d = (ac + ac̄)u ; (bd + bd̄) + (ac + āc)ū ; (bd + b̄d) =
= ac ; bd + R, wo R = acu ; bd̄ + ac̄u ; bd + ac̄u ; bd̄ +
+ acū ; b̄d + ācū ; bd + ācū ; b̄d
bedeutet, und — unter x das erste Π in 5) verstanden —
[FORMEL] sein muss. Es bleibt also nur ΠR = 0 zu beweisen. Nun ist:
[FORMEL].
Hält man aber multiplikativ zusammen ein jedes der drei Produkte
acbd̄, ac̄bd, ac̄bd̄ mit jedem der dreie acb̄d, ācbd, ācb̄d,
so bemerkt man, dass allemal mindestens zwei Faktoren zusammentreffen,
die Negate von einander sind, und das verhält sich nicht anders, wenn
die beiden ersten Faktoren in jedem dieser sechs Produkte mit dem Suffix ih,
die beiden letzten mit dem hj behaftet sind. Es ist sonach für jedes h:
αhβh = 0.
Diese Gleichung ist aber die notwendige und hinreichende Bedingung dafür,
dass ui h sich der Forderung αhui h + βhūi h = 0 gemäss bestimmen lasse.
Für ein bestimmtes ij kann also der Forderung Ri j = 0 dadurch genügt
werden, dass nach h jedes ui h als Wurzel letztrer Gleichung angenommen
wird, und damit wird auch [FORMEL] gleich 0 werden. Im [FORMEL]
fällt mithin auf jede Stelle mindestens eine Niete und muss deshalb ΠR = 0
sein, q. e. d.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 496. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/510>, abgerufen am 17.05.2024.
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