§ 29. Über von Peirce so genannte Entwicklungsformeln.
zu beweisen, am besten exemplificando. Für b = an, c = 0' z. B. müsste sich erweisen: 0' an j 0 + a j 0, wo für a = 1abg0 das Prädikat 10001 mit beliebigen Leerzeilen ausgestattet ist und folglich das Subjekt 0' nicht unter sich enthalten kann.
Unser Satz 1) ist hienach bis jetzt blos für den Fall, wo die Resul- tante erfüllt ist, erwiesen.
Man könnte nun, weil es einen Wert x von u der gesuchten Art nicht unbedingt gibt, versuchen ob sich nicht vielleicht zwei Werte x und y von u finden lassen, so, dass bedingungslos: (a ; xc + b ; xnc)(a ; yc + b ; ync) ab ; c wird, und falls auch hiefür wieder eine Bedingung resultiren sollte, nach drei Werten x, y, z von u fahnden, für welche das Produkt der ein- schlägigen Faktoren ab ; c wäre, und so fort. Doch dürfte ein weiteres Vordringen auf diesem Wege immer schwieriger werden; auch erscheint es fraglich, ob solchem Verfahren ein endlicher Erfolg zufallen würde -- der: den Satz 1) als bedingungslos gültigen bewiesen zu haben.
Bevor wir die Digression dieses Kontextes verlassen, sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass der Satz 3) für c = 1 -- wenn zuletzt für d dann c gesagt wird -- in Gestalt von ab ; 1 a ; c + b ; cn eine Verstärkung, Steigerung unsres Satzes 14) des § 6 vorstellt: nicht blos ab, sondern, was noch mehr besagt, sogar ab ; 1 ist der rechten Seite eingeordnet.
Ebenso ist der Spezialfall für c = 1 resp. 0 des Satzes 1): 4)
[Tabelle]
besonders bemerkenswert.
Endlich sei als schätzenswerte Übung dem Anfänger empfohlen, auch die Gleichung a ; x + b ; xn = ab, welche mit ihrer vorwärtigen Untersubsumtion äquivalent ist, in analoger Weise aufzulösen. Man findet b ; (an + bn) xan j ab, und lässt die Resultante 1 = an j ab + bn j ab sich in vielen merkwürdigen Formen schreiben, z. B. (scheinbar unsymmetrisch) als 1' an j ab j ab j bn, sowie als a ; b + b ; aab j ab, wo von den zwei Gliedern links auch eines unterdrückbar. Man zeige, dass dann auch ab = ab j 0 = ab ; 1, mithin ab "System" sein muss.
Mit einem Schlage beweist sich unser Satz 1) aus 2) durch den Nachweis, dass hier rechterhand das letzte Glied verschwindet. Wir haben in der That die Sätze:
§ 29. Über von Peirce so genannte Entwicklungsformeln.
zu beweisen, am besten exemplificando. Für b = ā, c = 0' z. B. müsste sich erweisen: 0' ⋹ ā̆ ɟ 0 + ă ɟ 0, wo für ă = 1αβγ0 das Prädikat 10001 mit beliebigen Leerzeilen ausgestattet ist und folglich das Subjekt 0' nicht unter sich enthalten kann.
Unser Satz 1) ist hienach bis jetzt blos für den Fall, wo die Resul- tante erfüllt ist, erwiesen.
Man könnte nun, weil es einen Wert x von u der gesuchten Art nicht unbedingt gibt, versuchen ob sich nicht vielleicht zwei Werte x und y von u finden lassen, so, dass bedingungslos: (a ; xc + b ; x̄c)(a ; yc + b ; ȳc) ⋹ ab ; c wird, und falls auch hiefür wieder eine Bedingung resultiren sollte, nach drei Werten x, y, z von u fahnden, für welche das Produkt der ein- schlägigen Faktoren ⋹ ab ; c wäre, und so fort. Doch dürfte ein weiteres Vordringen auf diesem Wege immer schwieriger werden; auch erscheint es fraglich, ob solchem Verfahren ein endlicher Erfolg zufallen würde — der: den Satz 1) als bedingungslos gültigen bewiesen zu haben.
Bevor wir die Digression dieses Kontextes verlassen, sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass der Satz 3) für c = 1 — wenn zuletzt für d dann c gesagt wird — in Gestalt von ab ; 1 ⋹ a ; c + b ; c̄ eine Verstärkung, Steigerung unsres Satzes 14) des § 6 vorstellt: nicht blos ab, sondern, was noch mehr besagt, sogar ab ; 1 ist der rechten Seite eingeordnet.
Ebenso ist der Spezialfall für c = 1 resp. 0 des Satzes 1): 4)
[Tabelle]
besonders bemerkenswert.
Endlich sei als schätzenswerte Übung dem Anfänger empfohlen, auch die Gleichung a ; x + b ; x̄ = ab, welche mit ihrer vorwärtigen Untersubsumtion äquivalent ist, in analoger Weise aufzulösen. Man findet b̆ ; (ā + b̄) ⋹ x ⋹ ā̆ ɟ ab, und lässt die Resultante 1 = ā̆ ɟ ab + b̄̆ ɟ ab sich in vielen merkwürdigen Formen schreiben, z. B. (scheinbar unsymmetrisch) als 1' ⋹ ā̆ ɟ ab ɟ ăb̆ ɟ b̄, sowie als a ; b̆ + b ; ă ⋹ ab ɟ ăb̆, wo von den zwei Gliedern links auch eines unterdrückbar. Man zeige, dass dann auch ab = ab ɟ 0 = ab ; 1, mithin ab „System“ sein muss.
Mit einem Schlage beweist sich unser Satz 1) aus 2) durch den Nachweis, dass hier rechterhand das letzte Glied verschwindet. Wir haben in der That die Sätze:
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[493/0507]
§ 29. Über von Peirce so genannte Entwicklungsformeln.
zu beweisen, am besten exemplificando. Für b = ā, c = 0' z. B. müsste
sich erweisen: 0' ⋹ ā̆ ɟ 0 + ă ɟ 0, wo für ă = 1αβγ0 das Prädikat 10001
mit beliebigen Leerzeilen ausgestattet ist und folglich das Subjekt 0' nicht
unter sich enthalten kann.
Unser Satz 1) ist hienach bis jetzt blos für den Fall, wo die Resul-
tante erfüllt ist, erwiesen.
Man könnte nun, weil es einen Wert x von u der gesuchten Art nicht
unbedingt gibt, versuchen ob sich nicht vielleicht zwei Werte x und y
von u finden lassen, so, dass bedingungslos:
(a ; xc + b ; x̄c)(a ; yc + b ; ȳc) ⋹ ab ; c
wird, und falls auch hiefür wieder eine Bedingung resultiren sollte, nach
drei Werten x, y, z von u fahnden, für welche das Produkt der ein-
schlägigen Faktoren ⋹ ab ; c wäre, und so fort. Doch dürfte ein weiteres
Vordringen auf diesem Wege immer schwieriger werden; auch erscheint es
fraglich, ob solchem Verfahren ein endlicher Erfolg zufallen würde — der:
den Satz 1) als bedingungslos gültigen bewiesen zu haben.
Bevor wir die Digression dieses Kontextes verlassen, sei noch darauf
aufmerksam gemacht, dass der Satz 3) für c = 1 — wenn zuletzt für d
dann c gesagt wird — in Gestalt von
ab ; 1 ⋹ a ; c + b ; c̄
eine Verstärkung, Steigerung unsres Satzes 14) des § 6 vorstellt: nicht
blos ab, sondern, was noch mehr besagt, sogar ab ; 1 ist der rechten Seite
eingeordnet.
Ebenso ist der Spezialfall für c = 1 resp. 0 des Satzes 1):
4)
besonders bemerkenswert.
Endlich sei als schätzenswerte Übung dem Anfänger empfohlen, auch
die Gleichung
a ; x + b ; x̄ = ab,
welche mit ihrer vorwärtigen Untersubsumtion äquivalent ist, in analoger
Weise aufzulösen. Man findet
b̆ ; (ā + b̄) ⋹ x ⋹ ā̆ ɟ ab,
und lässt die Resultante 1 = ā̆ ɟ ab + b̄̆ ɟ ab sich in vielen merkwürdigen
Formen schreiben, z. B. (scheinbar unsymmetrisch) als
1' ⋹ ā̆ ɟ ab ɟ ăb̆ ɟ b̄, sowie als a ; b̆ + b ; ă ⋹ ab ɟ ăb̆,
wo von den zwei Gliedern links auch eines unterdrückbar. Man zeige,
dass dann auch ab = ab ɟ 0 = ab ; 1, mithin ab „System“ sein muss.
Mit einem Schlage beweist sich unser Satz 1) aus 2) durch den
Nachweis, dass hier rechterhand das letzte Glied verschwindet. Wir
haben in der That die Sätze:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 493. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/507>, abgerufen am 17.05.2024.
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