für 0 j bn einsetzen und erweist rechts sich x in 1 ; xn + 0 j x + etc. = 1 multiplizirt, q. e. d.
Möglichst einfach geschrieben ist: 21)
[Formel 1]
Hiermit ist nun auch unser voriges Problem prinzipiell gelöst: es wären nur mehr die Werte 20) oder 21) von x in die letzten Ausdrücke 19) für v, w, diese aber samt u = x in die Ausdrücke 17) von y und z einzutragen.
Wegen u · 1 ; u = u erkennt man leicht dass: x · 1 ; xn = u · 1 ; un + 1 ; a · 1 ; b · {(0 j un)1' + (0 j u)0'}, xn · 1 ; x = un · 1 ; u + 1 ; a · 1 ; b · {(0 j u)1' + (0 j un)0'}, wird, wonach auch das Konverse hievon, das in v, w vorkommt, leicht hinzuschreiben.
Obwohl sich noch manche fernere Vereinfachung allgemein erzielen lässt, wollen wir die Eintragung nicht ausführen, sintemal uns nur ein Partikularfall des Problemes für unsre Studie interessiren wird, nämlich der Fall: a = b = 1'.
Hier wird 1 ; a = 1, 0 j an = 0, desgleichen in b, sodann stellt sich heraus: 22) x = u · 1 ; un + (0 j un)1' + (0 j u)0', xn = un · 1 ; u + (0 j u)1' + (0 j un)0', worin die letzten Glieder auch durch u0' resp. un0' ersetzbar, und x · 1 ; xn = x, xn · 1 ; x = xn, nach welchen konvertirten Gleichungen (xn ; 1)x = x, etc. sich vereinfacht: v = v + 1'(vn j xn) ; x, w = w + 1'(wn j x) ; xn. Ersetzen wir noch die Buchstaben y, v, z, w durch a, a, b, b, so ist gefunden: 23)
[Formel 2]
· [a = 1'(an j xn){(0' + a ; x) j xn j xn} ; 1 + 1'(an j xn) ; x + a] · [b = 1'(bn j x){(0' + b ; xn) j x j x} ; 1 + 1'(bn j x) ; xn + b] worin a, b, u die den a, b, x zugeordneten unbestimmten Parameter vor- stellen.
Diese Angabe enthält alle möglichen Lösungen a, b, x des Problemes 50) unter 7) und nur solche, mithin gibt sie auch ausschliesslich alle Werte- paare a, b, welche der (unbekannten) vollen Resultante der Elimination des x genügen.
Im Hinblick auf 28) S. 231 sagt unser Ergebniss 22) aus, dass x lauter besetzte Lückkolonnen haben muss, der Leer- und Vollkolonnen ent- ratend.
Aufgabe 160). Die Peirce'sche Resultante zum Probleme 50) sub 7): 24) (1' a ; 0' ; b), = (1' b ; 0' ; a) = {(a ; 0')b ; 1 = 1} = {(b ; 0')a ; 1 = 1}
Schröder, Algebra der Relative. 31
§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.
für 0 ɟ b̄ einsetzen und erweist rechts sich x in 1 ; x̄ + 0 ɟ x + etc. = 1 multiplizirt, q. e. d.
Möglichst einfach geschrieben ist: 21)
[Formel 1]
Hiermit ist nun auch unser voriges Problem prinzipiell gelöst: es wären nur mehr die Werte 20) oder 21) von x in die letzten Ausdrücke 19) für v, w, diese aber samt u = x in die Ausdrücke 17) von y und z einzutragen.
Wegen u · 1 ; u = u erkennt man leicht dass: x · 1 ; x̄ = u · 1 ; ū + 1 ; a · 1 ; b · {(0 ɟ ū)1' + (0 ɟ u)0'}, x̄ · 1 ; x = ū · 1 ; u + 1 ; a · 1 ; b · {(0 ɟ u)1' + (0 ɟ ū)0'}, wird, wonach auch das Konverse hievon, das in v, w vorkommt, leicht hinzuschreiben.
Obwohl sich noch manche fernere Vereinfachung allgemein erzielen lässt, wollen wir die Eintragung nicht ausführen, sintemal uns nur ein Partikularfall des Problemes für unsre Studie interessiren wird, nämlich der Fall: a = b = 1'.
Hier wird 1 ; a = 1, 0 ɟ ā = 0, desgleichen in b, sodann stellt sich heraus: 22) x = u · 1 ; ū + (0 ɟ ū)1' + (0 ɟ u)0', x̄ = ū · 1 ; u + (0 ɟ u)1' + (0 ɟ ū)0', worin die letzten Glieder auch durch u0' resp. ū0' ersetzbar, und x · 1 ; x̄ = x, x̄ · 1 ; x = x̄, nach welchen konvertirten Gleichungen (x̄̆ ; 1)x̆ = x̆, etc. sich vereinfacht: v = v + 1'(v̄ ɟ x̄) ; x̆, w = w + 1'(w̄ ɟ x) ; x̄̆. Ersetzen wir noch die Buchstaben y, v, z, w durch a, α, b, β, so ist gefunden: 23)
[Formel 2]
· [a = 1'(ᾱ ɟ x̄){(0' + α ; x) ɟ x̄̆ ɟ x̄} ; 1 + 1'(ᾱ ɟ x̄) ; x̆ + α] · [b = 1'(β̄ ɟ x){(0' + β ; x̄) ɟ x̆ ɟ x} ; 1 + 1'(β̄ ɟ x) ; x̄̆ + β] worin α, β, u die den a, b, x zugeordneten unbestimmten Parameter vor- stellen.
Diese Angabe enthält alle möglichen Lösungen a, b, x des Problemes 50) unter 7) und nur solche, mithin gibt sie auch ausschliesslich alle Werte- paare a, b, welche der (unbekannten) vollen Resultante der Elimination des x genügen.
Im Hinblick auf 28) S. 231 sagt unser Ergebniss 22) aus, dass x lauter besetzte Lückkolonnen haben muss, der Leer- und Vollkolonnen ent- ratend.
Aufgabe 160). Die Peirce’sche Resultante zum Probleme 50) sub 7): 24) (1' ⋹ a ; 0' ; b̆), = (1' ⋹ b ; 0' ; ă) = {(a ; 0')b ; 1 = 1} = {(b ; 0')a ; 1 = 1}
Schröder, Algebra der Relative. 31
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[481/0495]
§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.
für 0 ɟ b̄ einsetzen und erweist rechts sich x in 1 ; x̄ + 0 ɟ x + etc. = 1
multiplizirt, q. e. d.
Möglichst einfach geschrieben ist:
21) [FORMEL]
Hiermit ist nun auch unser voriges Problem prinzipiell gelöst: es
wären nur mehr die Werte 20) oder 21) von x in die letzten Ausdrücke
19) für v, w, diese aber samt u = x in die Ausdrücke 17) von y und z
einzutragen.
Wegen u · 1 ; u = u erkennt man leicht dass:
x · 1 ; x̄ = u · 1 ; ū + 1 ; a · 1 ; b · {(0 ɟ ū)1' + (0 ɟ u)0'},
x̄ · 1 ; x = ū · 1 ; u + 1 ; a · 1 ; b · {(0 ɟ u)1' + (0 ɟ ū)0'},
wird, wonach auch das Konverse hievon, das in v, w vorkommt, leicht
hinzuschreiben.
Obwohl sich noch manche fernere Vereinfachung allgemein erzielen
lässt, wollen wir die Eintragung nicht ausführen, sintemal uns nur ein
Partikularfall des Problemes für unsre Studie interessiren wird, nämlich
der Fall: a = b = 1'.
Hier wird 1 ; a = 1, 0 ɟ ā = 0, desgleichen in b, sodann stellt sich
heraus:
22) x = u · 1 ; ū + (0 ɟ ū)1' + (0 ɟ u)0', x̄ = ū · 1 ; u + (0 ɟ u)1' + (0 ɟ ū)0',
worin die letzten Glieder auch durch u0' resp. ū0' ersetzbar, und x · 1 ; x̄ = x,
x̄ · 1 ; x = x̄, nach welchen konvertirten Gleichungen (x̄̆ ; 1)x̆ = x̆, etc. sich
vereinfacht: v = v + 1'(v̄ ɟ x̄) ; x̆, w = w + 1'(w̄ ɟ x) ; x̄̆. Ersetzen wir noch
die Buchstaben y, v, z, w durch a, α, b, β, so ist gefunden:
23) [FORMEL]
· [a = 1'(ᾱ ɟ x̄){(0' + α ; x) ɟ x̄̆ ɟ x̄} ; 1 + 1'(ᾱ ɟ x̄) ; x̆ + α]
· [b = 1'(β̄ ɟ x){(0' + β ; x̄) ɟ x̆ ɟ x} ; 1 + 1'(β̄ ɟ x) ; x̄̆ + β]
worin α, β, u die den a, b, x zugeordneten unbestimmten Parameter vor-
stellen.
Diese Angabe enthält alle möglichen Lösungen a, b, x des Problemes 50)
unter 7) und nur solche, mithin gibt sie auch ausschliesslich alle Werte-
paare a, b, welche der (unbekannten) vollen Resultante der Elimination
des x genügen.
Im Hinblick auf 28) S. 231 sagt unser Ergebniss 22) aus, dass x
lauter besetzte Lückkolonnen haben muss, der Leer- und Vollkolonnen ent-
ratend.
Aufgabe 160). Die Peirce’sche Resultante zum Probleme 50)
sub 7):
24) (1' ⋹ a ; 0' ; b̆), = (1' ⋹ b ; 0' ; ă) = {(a ; 0')b ; 1 = 1} = {(b ; 0')a ; 1 = 1}
Schröder, Algebra der Relative. 31
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 481. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/495>, abgerufen am 17.05.2024.
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