Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 27. Von Systemen zu den uninären Relativen.

Diese Festsetzung schliesst sich den fundamentalen Konventionen
des § 3 an. Wird sie zugrunde gelegt, so gelten folgende Darstellungen:
59) [Formel 1]
für jedes System a, d. h. für jedes Relativ a, das = a ; 1 ist.

Zur Begründung und Erläuterung von diesen ist Mehreres zu sagen.

Wir beweisen zunächst die erste von den Formeln, indem wir für
L = a und R = Σ_ia_ii die Übereinstimmung des allgemeinen Koeffizienten
zum Suffix hk nachweisen. Wir haben L_{h k} = a_{h k} und wegen 57), (8)
des § 3, 12) des § 8 und (58):
R_{h k} = Σ_ia_ii_{h k} = Σ_iΣ_la_{i l}1'_{i h} = Σ_lΣ_ia_{i l}1'_{i h} = Σ_la_{h l} = a_h,
mithin nach (58) in der That L_{h k} = R_{h k}.

Dafür, dass hier sogleich (Σa_ii)_{h k} = Σa_ii_{h k} gesetzt worden, sind nur
die Festsetzungen (15) und (10) des § 3 — mit Rücksicht etwa auf die
Bemerkung am Schlusse des § 10 — anzuziehen gewesen.

Nach eben bewiesenem Schema der ersten Gleichung 59) muss nun,
weil, wenn a System ist auch ā System sein wird, auch gelten: ā = Σ_iā_ii
— wobei über die Bedeutung des Koeffizienten ā_i = (ā)_i = Σ_hā_{i h} kein
Zweifel obwalten kann. Nach der Bemerkung in [ ] unter 58) ist dies
jedoch auch = Π_hā_{i h} = Σ_ha_{i h}͞ und damit als ein Satz bewiesen:
60) ā_i = (a_i)͞.

Hiernach aber geht aus unsrer Darstellung von ā durch Kontraposition
die zweite Darstellung, von a = Π_i(a_i + ī), im Gespanne 59) hervor, der
eine ähnliche für ā entsprechen wird.

Aus den hiemit gerechtfertigten beiden Doppelgleichungen der ersten
Zeile von 59) folgen sodann die der zweiten Zeile mittelst beiderseitigen
Konvertirens. Dabei wird nur zu beachten sein, dass, weil a_i blos = 0
oder = 1 sein kann und diese in unsrer Theorie mit den Wahrheitswerten
identifizirten Moduln durch Konvertiren nicht geändert werden, auch
61) (a_i)͝ = a_i
bleibt — wovon aber ă_i = (ă)_i, wie nachher zu sehn, wohl unterschieden
werden muss.

Mit dem ersten Satze des Gespannes 59) ist nun bewiesen:

Jedes System ist darstellbar als eine Summe von Elementen (welche
natürlich derselben eingeordnet sein werden), es ist ein Inbegriff von
in ihm enthaltnen Elementen, desgleichen ist es darstellbar als iden-
tisches Produkt („Gemeinheit“) von Elementnegaten, den Negaten solcher
Elemente die nicht in ihm enthalten sind — und zwar, wie noch zu
sehn, von allen diesen.