Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 26. Identische Knüpfungen zwischen Elementepaaren.

nun aus der Behauptung der vorhin erwiesenen Aussagensubsumtion 28)
nicht auch umgekehrt deren Voraussetzung folgen, so müsste die Negation
von dieser, mithin die Hypothesis von 27) gelten. Dann hätten wir aber
(i : j)(h : k) = 0 im Widerspruch zu der Annahme, dass dies Produkt
= i : j (= z) somit ≠ 0 sei. Ebenso zeigt man apagogisch auch die rück-
wärtige Geltung der für 27) bereits bewiesnen Aussagensubsumtion.

Der letzte Teil des Satzes 28) ergibt sich durch Vergleichung seines
ersten Teils mit der Kontraposition von 27).

Als einen partikularen Fall von 27) haben wir insbesondre für k ≠ j:
29) (i : j)(i : k) = 0
und gibt derselbe Veranlassung zu einer sehr wichtigen Bemerkung.

Derselbe thut nämlich meines Erachtens unwiderleglich dar, dass
es für die Widerspruchsfreiheit, Konsistenz unsrer Theorie ganz un-
erlässlich ist, die Denkbereiche der verschiednen Ordnungen — wie
von mir betont — scharf von einander zu unterscheiden. Dies etwa
in folgender Weise.

Es seien die Elementepaare i : j und i : k — alle beide — Glieder
eines Relativs a = amans = „Liebender von-“. Wenn dann nach
Peirce² p. 12 sq., ⁵ p. 44, ⁶ p. 5 sq. (konnotativ) i : j den i „als Lieben-
den von j“, ebenso i : k den i „als Liebenden von k“ bedeutet, mithin
beide Elementepaare das Relat, den i, bezeichnen, so muss notwendig
im Widerspruch zu 29) das identische Produkt:
29̅) (i : j)(i : k) = i
selbst sein; und dieses ist es in der That, sobald man vor der Multi-
plikation der Elementepaare an ihnen den Prozess ausführt, den ich
ihre „Zurückdeutung“ in den Denkbereich 1¹ nannte — ein Prozess, der
(wie wir später sehen werden) die Wirkung hat zu verwandeln: das
Elementepaar i : j in (i : j) ; 1 = ij̆ ; 1 = i ; 1 · j̆ ; 1 = i · 1 = i und ebenso
das i : k in i.

Eine ähnliche Bemerkung würde sich auch an die Operation des Negi-
rens anknüpfen lassen, wo es einen grossen Unterschied macht, ob man
ein binäres Relativ a erst negirt, und dann (das Negat ā) in den Denk-
bereich 1¹ zurückdeutet (womit ā ; 1 entsteht), oder ob man umgekehrt a
erst zurückdeutet (was a ; 1 liefert) und dann negirt (womit a₁ = ā ɟ 0
entsteht).

Solange Peirce’s Theorie fortgesetzt nur mit einem einzigen
völlig offenen Denkbereiche wirtschaftet(e), in welchen es jederzeit frei-
steht, die Objekte unsrer verschiednen Denkbereiche mit gleichem
Rechte einzubeziehen, kann dieselbe wie mir scheint von einem innern
Widerspruche, einer Inkonsistenz nicht wohl ganz freigesprochen
werden.