Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 25. Knüpfungsgesetze für Elemente.

31)

[Tabelle]

.

Behufs Beweises des ersten haben wir
L_{h k} = Σ_la_{h l}ī_{l k} · i_{k h} = 1'_{i k}Σ_la_{h l}0'_{i l} und R_{h k} = 1'_{i k}Σ_la_{h l}0'_{l k}, mithin L_{h k} = R_{h k};
denn für k ≠ i kommt diese Gleichung auf 0 = 0, für k = i aber auf die
Identität Σ_la_{h l}0'_{i l} = Σ_la_{h l}0'_{l i} hinaus, q. e. d. —

Der erste Satz 31) des zweiten Gespannes beweist sich schon ohne
Zuhülfenahme der Koeffizientenevidenz vor- oder rückwärts so:
0'a ; i = 0'a ɟ ī = (0' ɟ ī)(a ɟ ī) = (a ɟ ī)ī = a ; i · ī,
mit derselben so:
(a ; i · ī)_{h k} = Σ_la_{h l}i_{l k}ī_{h k} = Σ_la_{h l}1'_{i l}0'_{i h} = a_{h i}0'_{h i} =
= Σ_l(0'a)_{h l}1'_{i l} = Σ_l(0'a)_{h l}i_{l k} = (0'a ; i)_{h k}.

Man bemerkt schon im Hinblick auf die vorige (mittelbare) Her-
leitung, dass dieser Satz 31), als zu nahe liegend, kaum noch registrirt zu
werden verdiente. Und so wollen wir auch inbezug auf eine Reihe noch
anführbarer ähnlicher Sätze — wie a ; i · i = 1'a ; i, was mit a ; i · 1' ; i nach
26) folgt, etc. — hier nicht nach Vollständigkeit streben.

Hierher gehören auch noch die ganz leicht erweislichen Sätzchen:

aī̆⋹a ; ī	a ɟ i ⋹ a + ĭ
īa⋹ī̆ ; a	ĭ ɟ a ⋹ i + a

oder

a⋹a ; ī + ĭ	(a ɟ i)ī̆ ⋹ a
a⋹i + ī̆ ; a	ī(ĭ ɟ a) ⋹ a

und andre mehr.

Von sehr häufiger Anwendung werden endlich auch diese beiden
Gruppen von Sätzen sein:
32) [Formel 1]
33) [Formel 2]

Hievon verstehen sich die Gleichsetzungen der ersten Zeile in beiden
Chiffren wegen ĭ = 1 ; ĭ, i = i ; 1 etc. zwar aus einem allgemeineren Satze,
welchen wir unter 9) im § 27 der Theorie einfügen werden; da man be-
hufs Übergangs zur zweiten Zeile doch ohnehin an die Koeffizientenevidenz
appelliren muss, mögen sie hiernächst durch diese sogleich mit gerecht-
fertigt werden. Man hat zu 32) linkerhand:
L_{h k} = Σ_li_{l h}a_{h l}i_{l k}b_{l k} = Σ_la_{h l}1'_{i l}b_{l k} = a_{h i}b_{i k}
und R_{h k} = Σ_la_{h l}i_{l k} · Σ_mi_{m h}b_{m k} = Σ_la_{h l}1'_{i l} · Σ_m1'_{i m}b_{m k} = a_{h i}b_{i k},