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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
Bilder, etc. mit der Anschauung aufzusuchen und zu verfolgen. Leicht
wird man auch, indem man sich in die Flächen b oder c (A, B der Fig.)
oder in deren Bilder resp. Ketten oder Bildketten ein irgendwie begrenztes
Punktgebiet im Geiste einzeichnet, daran die Gültigkeit noch andrer von
den Sätzen, wie D 45 .. D 56, mit der Anschauung zu kontroliren vermögen.

§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Durch die Einführung des Begriffs der "Kette inbezug auf ein
Relativ" mittelst D 37 sind folgende zwei Aufgaben nahe gelegt.

Aufgabe 1. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, inbezug auf
welches ein gegebnes b eine Kette ist, d. h. die Subsumtion aufzulösen:
x ; b b.

Diese Aufgabe ist nur ein Spezialfall der in § 17 durch das erste
Inversionstheorem gelösten. Als Lösung hat man darnach augenblicklich:
x b j bn oder x = u(b j bn) für ein unbestimmtes oder arbiträres u, d. h.
es mag der Satz notirt werden:
1) [Formel 1] .

Partikulare Wurzeln sind x = 0 sowie x = 1', also: inbezug auf die
Moduln 0 und 1' ist jedes Relativ Kette.

Aufgabe 2. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, welches inbezug
auf ein gegebnes a eine Kette ist, d. h. nach x die Subsumtion aufzulösen:
a ; x x.

Die Lösung dieser Aufgabe haben wir bereits in 5) des § 22 S. 325
gegeben und als die allgemeine Wurzel zwei Ausdrücke gefunden: x = a0 ; u
und x = an1 j u, welche leicht als wesentlich verschieden zu erkennen sind,
nämlich ob sie zwar für u gleich einer Wurzel x mit dieser selbst und
miteinander zusammenfallen, doch sonst, bei beliebigem u, verschiedene
Wurzelwerte darstellen können. Denn andernfalles müsste auch für u = 1'
bei beliebigem a gelten:
a0 ; 1' = a0 = 1' + a + a2 + a3 + ... = an1 j 1' = 1'(an j 1')(an j an j 1') ...,
was offenbar falsch, da das bestimmungslose a nicht 1' zu sein braucht.

Sofern es gestattet ist, aus jenem Gespanne 5) § 22 das für uns Wich-
tigste hier wiederholend hervorzuheben, notiren wir den Satz:
2) [Formel 2] .

Diese Aufgabe gab wol den natürlichsten Anlass zur Einführung des
Begriffes a0 der a-Kette, sowie des a-Geketts: die Unbekannte muss die
a-Kette von irgendwelchem Relative u sein -- desgleichen das a-strich-
konvers-Gekett piu einem solchen unbestimmten Relative.

Als partikulare Wurzeln sind aus der Gruppe der Moduln bei be-
liebigem a nur x = 0 und x = 1 angebbar, d. h. es ist (konform mit D 38)
zu sagen, dass der ganz leere, sowie der volle (ganze) Denkbereich inbezug

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
Bilder, etc. mit der Anschauung aufzusuchen und zu verfolgen. Leicht
wird man auch, indem man sich in die Flächen b oder c (A, B der Fig.)
oder in deren Bilder resp. Ketten oder Bildketten ein irgendwie begrenztes
Punktgebiet im Geiste einzeichnet, daran die Gültigkeit noch andrer von
den Sätzen, wie D 45 ‥ D 56, mit der Anschauung zu kontroliren vermögen.

§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Durch die Einführung des Begriffs der „Kette inbezug auf ein
Relativ“ mittelst D 37 sind folgende zwei Aufgaben nahe gelegt.

Aufgabe 1. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, inbezug auf
welches ein gegebnes b eine Kette ist, d. h. die Subsumtion aufzulösen:
x ; b ⋹ b.

Diese Aufgabe ist nur ein Spezialfall der in § 17 durch das erste
Inversionstheorem gelösten. Als Lösung hat man darnach augenblicklich:
x ⋹ b ɟ b̄̆ oder x = u(b ɟ b̄̆) für ein unbestimmtes oder arbiträres u, d. h.
es mag der Satz notirt werden:
1) [Formel 1] .

Partikulare Wurzeln sind x = 0 sowie x = 1', also: inbezug auf die
Moduln 0 und 1' ist jedes Relativ Kette.

Aufgabe 2. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, welches inbezug
auf ein gegebnes a eine Kette ist, d. h. nach x die Subsumtion aufzulösen:
a ; x ⋹ x.

Die Lösung dieser Aufgabe haben wir bereits in 5) des § 22 S. 325
gegeben und als die allgemeine Wurzel zwei Ausdrücke gefunden: x = a0 ; u
und x = ā̆1 ɟ u, welche leicht als wesentlich verschieden zu erkennen sind,
nämlich ob sie zwar für u gleich einer Wurzel x mit dieser selbst und
miteinander zusammenfallen, doch sonst, bei beliebigem u, verschiedene
Wurzelwerte darstellen können. Denn andernfalles müsste auch für u = 1'
bei beliebigem a gelten:
a0 ; 1' = a0 = 1' + a + a2 + a3 + … = ā̆1 ɟ 1' = 1'(ā̆ ɟ 1')(ā̆ ɟ ā̆ ɟ 1') …,
was offenbar falsch, da das bestimmungslose a nicht ⋹ 1' zu sein braucht.

Sofern es gestattet ist, aus jenem Gespanne 5) § 22 das für uns Wich-
tigste hier wiederholend hervorzuheben, notiren wir den Satz:
2) [Formel 2] .

Diese Aufgabe gab wol den natürlichsten Anlass zur Einführung des
Begriffes a0 der a-Kette, sowie des a-Geketts: die Unbekannte muss die
a-Kette von irgendwelchem Relative u sein — desgleichen das a-strich-
konvers-Gekett piu einem solchen unbestimmten Relative.

Als partikulare Wurzeln sind aus der Gruppe der Moduln bei be-
liebigem a nur x = 0 und x = 1 angebbar, d. h. es ist (konform mit D 38)
zu sagen, dass der ganz leere, sowie der volle (ganze) Denkbereich inbezug

25*
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[387/0401] § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. Bilder, etc. mit der Anschauung aufzusuchen und zu verfolgen. Leicht wird man auch, indem man sich in die Flächen b oder c (A, B der Fig.) oder in deren Bilder resp. Ketten oder Bildketten ein irgendwie begrenztes Punktgebiet im Geiste einzeichnet, daran die Gültigkeit noch andrer von den Sätzen, wie D 45 ‥ D 56, mit der Anschauung zu kontroliren vermögen. § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. Durch die Einführung des Begriffs der „Kette inbezug auf ein Relativ“ mittelst D 37 sind folgende zwei Aufgaben nahe gelegt. Aufgabe 1. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, inbezug auf welches ein gegebnes b eine Kette ist, d. h. die Subsumtion aufzulösen: x ; b ⋹ b. Diese Aufgabe ist nur ein Spezialfall der in § 17 durch das erste Inversionstheorem gelösten. Als Lösung hat man darnach augenblicklich: x ⋹ b ɟ b̄̆ oder x = u(b ɟ b̄̆) für ein unbestimmtes oder arbiträres u, d. h. es mag der Satz notirt werden: 1) [FORMEL]. Partikulare Wurzeln sind x = 0 sowie x = 1', also: inbezug auf die Moduln 0 und 1' ist jedes Relativ Kette. Aufgabe 2. Das allgemeinste Relativ zu bestimmen, welches inbezug auf ein gegebnes a eine Kette ist, d. h. nach x die Subsumtion aufzulösen: a ; x ⋹ x. Die Lösung dieser Aufgabe haben wir bereits in 5) des § 22 S. 325 gegeben und als die allgemeine Wurzel zwei Ausdrücke gefunden: x = a0 ; u und x = ā̆1 ɟ u, welche leicht als wesentlich verschieden zu erkennen sind, nämlich ob sie zwar für u gleich einer Wurzel x mit dieser selbst und miteinander zusammenfallen, doch sonst, bei beliebigem u, verschiedene Wurzelwerte darstellen können. Denn andernfalles müsste auch für u = 1' bei beliebigem a gelten: a0 ; 1' = a0 = 1' + a + a2 + a3 + … = ā̆1 ɟ 1' = 1'(ā̆ ɟ 1')(ā̆ ɟ ā̆ ɟ 1') …, was offenbar falsch, da das bestimmungslose a nicht ⋹ 1' zu sein braucht. Sofern es gestattet ist, aus jenem Gespanne 5) § 22 das für uns Wich- tigste hier wiederholend hervorzuheben, notiren wir den Satz: 2) [FORMEL]. Diese Aufgabe gab wol den natürlichsten Anlass zur Einführung des Begriffes a0 der a-Kette, sowie des a-Geketts: die Unbekannte muss die a-Kette von irgendwelchem Relative u sein — desgleichen das a-strich- konvers-Gekett piu einem solchen unbestimmten Relative. Als partikulare Wurzeln sind aus der Gruppe der Moduln bei be- liebigem a nur x = 0 und x = 1 angebbar, d. h. es ist (konform mit D 38) zu sagen, dass der ganz leere, sowie der volle (ganze) Denkbereich inbezug 25*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 387. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/401>, abgerufen am 23.11.2024.