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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.

Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in
I. a ; (a0 ; b)c c und II. b c,
wie folgt zu leisten. Es ist: b a0 ; b nach D 45 oder 9), und
dies mit II vereinigt gibt den Schluss:
III. b (a0 ; b)c.

Andrerseits ist:
IV. (a0 ; b)c a0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) -- für b statt c
und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen -- folgt:

a ; (a0 ; b)c a0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt:
V. a ; (a0 ; b)c (a0 ; b)c. Die Vereinigung von III und V lautet:
a ; (a0 ; b)c + b (a0 ; b)c.

Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11)
-- worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren
Ausdruck (a0 ; b)c -- gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes
den Schluss:
a0 ; b (a0 ; b)c,
und da die umgekehrte Subsumtion -- IV -- ohnehin gilt, so ist die
Gleichung gewonnen:
VI. a0 ; b = (a0 ; b)c,
aus welcher wegen (a0 ; b)c c zugleich die Konklusion fliesst:
a0 ; b c,
welche zu beweisen gewesen.

Woferne nur die formalen Grundlagen 9, 10, 11) dieses Beweises
späterhin auf einem zirkel- resp. einwandsfreien Wege gewonnen werden,
wird auch der vorstehende Beweis vollkräftig und braucht nicht wieder-
holt zu werden.

Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der
Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen:
b c, a ; bc c, a ; (a ; b)c c, a ; (a2 ; b)c c, a ; (a3 ; b)c c, ...
und muss suchen die Konklusionen zu gewinnen:
bc, a ; b c, a2 ; b c, a3 ; b c, ....

Nun ist zwar a ; bc a ; b (sei es wegen bc b, sei es wegen
a ; bc a ; b · a ; c a ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)c a ; (a ; b) = a2 ; b,
und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein,
wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um-
gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so
scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis
als der eben vorgetragne -- trotz so verschiednen Aussehens -- wesent-
lich Dedekind'sche, schwerlich geliefert werden kann.

Neunte Vorlesung.

Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in
I. a ; (a0 ; b)c ⋹ c und II. b ⋹ c,
wie folgt zu leisten. Es ist: b ⋹ a0 ; b nach D 45 oder 9), und
dies mit II vereinigt gibt den Schluss:
III. b ⋹ (a0 ; b)c.

Andrerseits ist:
IV. (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) — für b statt c
und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen — folgt:

a ; (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt:
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a ; (a0 ; b)c + b ⋹ (a0 ; b)c.

Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11)
— worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren
Ausdruck (a0 ; b)c — gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes
den Schluss:
a0 ; b ⋹ (a0 ; b)c,
und da die umgekehrte Subsumtion — IV — ohnehin gilt, so ist die
Gleichung gewonnen:
VI. a0 ; b = (a0 ; b)c,
aus welcher wegen (a0 ; b)c ⋹ c zugleich die Konklusion fliesst:
a0 ; b ⋹ c,
welche zu beweisen gewesen.

Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der
Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen:
b ⋹ c, a ; bc ⋹ c, a ; (a ; b)c ⋹ c, a ; (a2 ; b)c ⋹ c, a ; (a3 ; b)c ⋹ c, …
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a ; bc ⋹ a ; b · a ; c ⋹ a ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)c ⋹ a ; (a ; b) = a2 ; b,
und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein,
wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um-
gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so
scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis
als der eben vorgetragne — trotz so verschiednen Aussehens — wesent-
lich Dedekind’sche, schwerlich geliefert werden kann.

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[366/0380] Neunte Vorlesung. Sein Beweis ist in Anbetracht, dass seine Prämisse zerfällt in I. a ; (a0 ; b)c ⋹ c und II. b ⋹ c, wie folgt zu leisten. Es ist: b ⋹ a0 ; b nach D 45 oder 9), und dies mit II vereinigt gibt den Schluss: III. b ⋹ (a0 ; b)c. Andrerseits ist: IV. (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, woraus nach D 55 oder 10) — für b statt c und (a0 ; b)c statt b in Anspruch genommen — folgt: a ; (a0 ; b)c ⋹ a0 ; b, und dies mit der Prämisse I vereinigt gibt: V. a ; (a0 ; b)c ⋹ (a0 ; b)c. Die Vereinigung von III und V lautet: a ; (a0 ; b)c + b ⋹ (a0 ; b)c. Dies fällt nun unter das Schema der Prämisse von D 47 oder 11) — worin nur c vertreten erscheint durch den zusammengesetzteren Ausdruck (a0 ; b)c — gestattet somit nach dem Vorbild jenes Satzes den Schluss: a0 ; b ⋹ (a0 ; b)c, und da die umgekehrte Subsumtion — IV — ohnehin gilt, so ist die Gleichung gewonnen: VI. a0 ; b = (a0 ; b)c, aus welcher wegen (a0 ; b)c ⋹ c zugleich die Konklusion fliesst: a0 ; b ⋹ c, welche zu beweisen gewesen. Woferne nur die formalen Grundlagen 9, 10, 11) dieses Beweises späterhin auf einem zirkel- resp. einwandsfreien Wege gewonnen werden, wird auch der vorstehende Beweis vollkräftig und braucht nicht wieder- holt zu werden. Versucht man etwa den Satz 16) kunstlos mittelst Einsetzung der Reihe für a0 zu verifiziren, so hat man die Prämissen: b ⋹ c, a ; bc ⋹ c, a ; (a ; b)c ⋹ c, a ; (a2 ; b)c ⋹ c, a ; (a3 ; b)c ⋹ c, … und muss suchen die Konklusionen zu gewinnen: b⋹c, a ; b ⋹ c, a2 ; b ⋹ c, a3 ; b ⋹ c, …. Nun ist zwar a ; bc ⋹ a ; b (sei es wegen bc ⋹ b, sei es wegen a ; bc ⋹ a ; b · a ; c ⋹ a ; b). Und ebenso ist a ; (a ; b)c ⋹ a ; (a ; b) = a2 ; b, und so weiter. Die Konklusionen würden sonach leicht zu ziehen sein, wenn diese Subsumtionen im entgegengesetzten Sinne, wenn sie als die um- gekehrten, rückwärts Geltung hätten. Da solches keineswegs ersichtlich, so scheitert obiger Versuch und wird man inne, dass ein einfacherer Beweis als der eben vorgetragne — trotz so verschiednen Aussehens — wesent- lich Dedekind’sche, schwerlich geliefert werden kann.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 366. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/380>, abgerufen am 14.05.2024.

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