Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 23. Satz der vollständigen Induktion, und sein Beweis.

man den zu liefernden Nachweis auch dahin vereinfachen, dass man blos
durch den Schluss von n auf n + 1 zeigt, dass
14) (1' + a)ⁿ = 1' + a + a² + a³ + a⁴ + … + aⁿ
sein muss: Gilt dies für ein bestimmtes n, so erhält man nämlich, beide
Seiten mit 1' + a relativ nach- und rechts dabei ausmultiplizirend:
(1' + a)^{n + 1} = 1' + a + … + aⁿ + a^{n + 1}
unter tautologischer Wiederholung aller Glieder zwischen dem ersten und
letzten.

Damit wird auch
15) a₀ = (1' + a)^∞
gewonnen sein. —

Soferne also der Schluss der vollständigen Induktion seine Be-
rechtigung erst aus dem Satze D 59 schöpft, der seinerseits nur auf-
grund von D 47 zu beweisen sein wird, enthält der Beweis von D 59
(zu dem wir nachher schreiten) noch einen Zirkel und hat blos den
Wert, die Überzeugung zu gewähren: dass, wenn jener Induktionsschluss
in dem einen hier vorliegenden Falle — bei D 47 wenigstens — mate-
riell berechtigt gewesen, er dann auch formale oder allgemeine Geltung,
für jeden Fall seiner Anwendung, wird beanspruchen dürfen.

Vor allem seien jetzt nebenher auch die übrigen Sätze unsres Über-
blicks von unserm Standpunkt aus erledigt. D 46 — einfacher als a₀₀ ; b ⋹ a₀ ; b
zu schreiben — versteht sich aus 4); ebenso D 49 als a ; b ⋹ a₀₀ ; b, und
D 50; D 57 aus 6), D 58 aus 2).

D 52 versteht sich mittelst der Überlegung: (b ⋹ c) ⋹ (a₀ ; b ⋹ a₀ ; c)
wegen D 45 oder 9) a fortiori, und darnach auch D 53 mittelst
(b ⋹ a₀ ; c) ⋹ (a₀ ; b ⋹ a₀ ; a₀ ; c = a₀ ; c) aus 7).

Bleibt nur mehr die Gleichung D 51 als Subsumtion vor- und rück-
wärts zu beweisen.

Wegen (b ⋹ b) = 1 ist:
(a ; b ⋹ b) = (a ; b ⋹ b)(b ⋹ b) = (a ; b + b ⋹ b) ⋹ (a₀ ; b ⋹ b)
— nach D 47, für c = b in Anspruch genommen — falls man nicht etwa
ganz ähnliche Schlüsse wie dort wiederholen will. Da nun nach D 45
oder 9) die umgekehrte Subsumtion ohnehin gilt, so ist die in D 51 rechts
behauptete Gleichung aus der Prämisse links erwiesen.

Umgekehrt folgt diese aus jener, indem dann wegen D 50 oder 4):
a ; b ⋹ a₀ ; b ⋹ b wird sein müssen.

So leicht war der Herweg zu gehen — bei dem schon die Schlüsse
dieses Kontextes einen Luxus bildeten!

Der Satz der vollständigen Induktion D 59 gehört dem Gespanne an:
16) [Formel 1]