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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 22. Zweite Sektion der nächsten 12 erlei Subsumtionsprobleme.

Bevor wir zur dritten Unterabteilung -- die aus 4) entspringt,
und deren Probleme von schwierigerer Art sind -- übergehn, wollen
wir über Herleitung und
Begründung
des Bisherigen das Nötige sagen.

Wo verschiedene Formen der Problemstellung einander äquivalent ge-
setzt sind, wird der Leser diese leicht -- durch Transponiren des einen
oder andern Terms, eventuell in Verbindung mit beiderseitigem Konvertiren
oder auch Kontraposition -- auf einander zurückführen.

Für die Probleme, in denen x isolirt als Subjekt steht, ist stets x = 0,
für die, wo es als Prädikat steht, ist x = 1 als eine partikulare Lösung
angebbar, und deshalb kann keines der bisherigen Probleme eine Resul-
tante involviren.

Die Herleitung oder Entdeckung sämtlicher angegebnen Lösungen ist
durch mein Theorem 1) des § 13 nahe gelegt, ja gegeben, weil x bald als
Subjekt, bald als Prädikat, zuweilen auch (in den verschiednen Formen
einunddesselben Problems) in beiden Eigenschaften von vornherein isolirt
oder isolirbar erscheint, was dann auch zu verschiednen Lösungsformen führte.

Wir brauchen darnach die Probe 2 überhaupt nicht mehr zu machen,
und die Probe 1 vorweg da nicht, wo die Lösung ausdrücklich als ein finfinity(u)
sich angegeben findet.

Immerhin wollen wir diese Probe 1, sintemal ein Luxus auch nicht
vom Übel, hier wenigstens für die zweite Aufgabe links in 5), das ist das
"Kettenproblem"katexochen: a ; x x, mit beiden Lösungsformen desselben
erhärten.

Die erste Lösungsform desselben lautet:
x = a0 ; u = (1' + a + a2 + a3 + ...) ; u = u + a ; u + a ; a ; u + a ; a ; a ; u + ...
-- sintemal 1' ; u = u ist -- und ist zu zeigen, dass a ; x x sein müsse
bei ganz beliebigem u. In der That wird
a ; x = a ; a0 ; u = a ; u + a ; a ; u + a ; a ; a ; u + ...
sich als die Summe der Glieder unsrer x-Reihe vom Anfangsgliede ab
darstellen.

Statt dieses Nachweises konnte man sich auch einfacher schon mit
dem des (in nächster Vorlesung noch eingehend ventilirten) Satzes: a ; a0 a0
begnügen, aus welchem die Behauptung der Probe 1 mittelst beiderseitig
relativen Nachmultiplizirens mit u hervorgeht.

Die zweite Lösungsform des Kettenproblems lautet:
x = an1 j u = 0'an(an j an)(an j an j an) ... j u = u(an j u)(an j an j u)(an j an j an j u) ...
-- sintemal 0' j u = u ist. Um zu sehn, dass a ; x x sein muss, be-
merken wir, dass in der That
a ; x = a ; u (an j u)(an j an j u) ... (a ; u){a ; (an j u)}[a ; (an j an j u)] ...
(a ; an j u)(a ; an j an j u) ... (0' j u)(0' j an j u)(0' j an j an j u) ... =
= u (an j u)(an j an j u) ... = x

§ 22. Zweite Sektion der nächsten 12 erlei Subsumtionsprobleme.

Bevor wir zur dritten Unterabteilung — die aus 4) entspringt,
und deren Probleme von schwierigerer Art sind — übergehn, wollen
wir über Herleitung und
Begründung
des Bisherigen das Nötige sagen.

Wo verschiedene Formen der Problemstellung einander äquivalent ge-
setzt sind, wird der Leser diese leicht — durch Transponiren des einen
oder andern Terms, eventuell in Verbindung mit beiderseitigem Konvertiren
oder auch Kontraposition — auf einander zurückführen.

Für die Probleme, in denen x isolirt als Subjekt steht, ist stets x = 0,
für die, wo es als Prädikat steht, ist x = 1 als eine partikulare Lösung
angebbar, und deshalb kann keines der bisherigen Probleme eine Resul-
tante involviren.

Die Herleitung oder Entdeckung sämtlicher angegebnen Lösungen ist
durch mein Theorem 1) des § 13 nahe gelegt, ja gegeben, weil x bald als
Subjekt, bald als Prädikat, zuweilen auch (in den verschiednen Formen
einunddesselben Problems) in beiden Eigenschaften von vornherein isolirt
oder isolirbar erscheint, was dann auch zu verschiednen Lösungsformen führte.

Wir brauchen darnach die Probe 2 überhaupt nicht mehr zu machen,
und die Probe 1 vorweg da nicht, wo die Lösung ausdrücklich als ein f∞(u)
sich angegeben findet.

Immerhin wollen wir diese Probe 1, sintemal ein Luxus auch nicht
vom Übel, hier wenigstens für die zweite Aufgabe links in 5), das ist das
„Kettenproblem“katexochen: a ; x ⋹ x, mit beiden Lösungsformen desselben
erhärten.

Die erste Lösungsform desselben lautet:
x = a0 ; u = (1' + a + a2 + a3 + …) ; u = u + a ; u + a ; a ; u + a ; a ; a ; u + …
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sich als die Summe der Glieder unsrer x-Reihe vom Anfangsgliede ab
darstellen.

Statt dieses Nachweises konnte man sich auch einfacher schon mit
dem des (in nächster Vorlesung noch eingehend ventilirten) Satzes: a ; a0 ⋹ a0
begnügen, aus welchem die Behauptung der Probe 1 mittelst beiderseitig
relativen Nachmultiplizirens mit u hervorgeht.

Die zweite Lösungsform des Kettenproblems lautet:
x = ā̆1 ɟ u = 0'ā̆(ā̆ ɟ ā̆)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ ā̆) … ɟ u = u(ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) …
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merken wir, dass in der That
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[331/0345] § 22. Zweite Sektion der nächsten 12 erlei Subsumtionsprobleme. Bevor wir zur dritten Unterabteilung — die aus 4) entspringt, und deren Probleme von schwierigerer Art sind — übergehn, wollen wir über Herleitung und Begründung des Bisherigen das Nötige sagen. Wo verschiedene Formen der Problemstellung einander äquivalent ge- setzt sind, wird der Leser diese leicht — durch Transponiren des einen oder andern Terms, eventuell in Verbindung mit beiderseitigem Konvertiren oder auch Kontraposition — auf einander zurückführen. Für die Probleme, in denen x isolirt als Subjekt steht, ist stets x = 0, für die, wo es als Prädikat steht, ist x = 1 als eine partikulare Lösung angebbar, und deshalb kann keines der bisherigen Probleme eine Resul- tante involviren. Die Herleitung oder Entdeckung sämtlicher angegebnen Lösungen ist durch mein Theorem 1) des § 13 nahe gelegt, ja gegeben, weil x bald als Subjekt, bald als Prädikat, zuweilen auch (in den verschiednen Formen einunddesselben Problems) in beiden Eigenschaften von vornherein isolirt oder isolirbar erscheint, was dann auch zu verschiednen Lösungsformen führte. Wir brauchen darnach die Probe 2 überhaupt nicht mehr zu machen, und die Probe 1 vorweg da nicht, wo die Lösung ausdrücklich als ein f∞(u) sich angegeben findet. Immerhin wollen wir diese Probe 1, sintemal ein Luxus auch nicht vom Übel, hier wenigstens für die zweite Aufgabe links in 5), das ist das „Kettenproblem“katexochen: a ; x ⋹ x, mit beiden Lösungsformen desselben erhärten. Die erste Lösungsform desselben lautet: x = a0 ; u = (1' + a + a2 + a3 + …) ; u = u + a ; u + a ; a ; u + a ; a ; a ; u + … — sintemal 1' ; u = u ist — und ist zu zeigen, dass a ; x ⋹ x sein müsse bei ganz beliebigem u. In der That wird a ; x = a ; a0 ; u = a ; u + a ; a ; u + a ; a ; a ; u + … sich als die Summe der Glieder unsrer x-Reihe vom Anfangsgliede ab darstellen. Statt dieses Nachweises konnte man sich auch einfacher schon mit dem des (in nächster Vorlesung noch eingehend ventilirten) Satzes: a ; a0 ⋹ a0 begnügen, aus welchem die Behauptung der Probe 1 mittelst beiderseitig relativen Nachmultiplizirens mit u hervorgeht. Die zweite Lösungsform des Kettenproblems lautet: x = ā̆1 ɟ u = 0'ā̆(ā̆ ɟ ā̆)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ ā̆) … ɟ u = u(ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) … — sintemal 0' ɟ u = u ist. Um zu sehn, dass a ; x ⋹ x sein muss, be- merken wir, dass in der That a ; x = a ; u (ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) … ⋹ (a ; u){a ; (ā̆ ɟ u)}[a ; (ā̆ ɟ ā̆ ɟ u)] … ⋹ ⋹ (a ; ā̆ ɟ u)(a ; ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) … ⋹ (0' ɟ u)(0' ɟ ā̆ ɟ u)(0' ɟ ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) … = = u (ā̆ ɟ u)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ u) … = x

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 331. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/345>, abgerufen am 12.05.2024.