widerspricht; die Hauptdiagonale kann auf keine Weise der Forderung entsprechend besetzt werden -- q. e. d.
Bei der obigen Zusammenstellung der allereinfachsten Probleme sind wir insofern pedantisch vollständig gewesen, als wir auch diejenigen mit- aufgeführt haben, welche durch Vertauschung der Unbekannten x mit einem ihrer verwandten Relative xn, x, xn aus schon angeführten hervorgehen. In Hinkunft werden wir solches nicht mehr thun: es überheben uns dessen die Formeln 3) wonach, sobald eines der drei letztern ermittelt ist, auch x gefunden sein wird.
Wir wenden uns hienach zu den Auflösungsproblemen, welche in Subsumtionen- oder Gleichungsform mit Aufwand von drei Buchstaben gestellt werden können.
Diese zerfallen in zwei Stufen, je nachdem die knüpfende Operation auf der zwei Buchstaben aufweisenden Seite eine identische oder eine relative ist.
Diese Knüpfung möge zuerst eine identische sein -- sei es Multi- plikation sei es Addition.
Die Aufgaben sind dann -- bis auf eine 14) -- sämtlich leicht oder ziemlich leicht zu lösen.
Sie zerfallen in drei Hauptabteilungen, je nachdem x nur einmal neben zwei Parametern a, b, oder x zweimal neben einem Parameter a, oder x dreimal und kein Parameter in der aufzulösenden Proposition vorkommt.
Erste Hauptabteilung.
Würde x (immer sei es ohne, sei es mit Negationsstrich oder Kon- versionsringel gedacht) auf der einen Seite isolirt stehn, so hätten wir auf der andern Seite die zwei Parameter a, b vermittelst einer identischen Operation zu einem einzigen Parameter c verknüpft. Die Aufgabe müsste dann auf eine der schon erledigten 2), 3) hinauslaufen, mit dem einzigen Unterschiede, dass der Parameter c, statt beliebig gegeben, als ein in be- stimmter Weise aus a und b zusammengesetzter zu denken wäre.
Daher kommen nur die Aufgaben in Betracht, bei denen x als das eine Operationsglied in die Knüpfung eingeht, die Parameter a, b sich auf die beiden Seiten der aufzulösenden Proposition verteilen. Wegen der Kommutativität der knüpfenden Operation braucht man nicht zu unter- scheiden, ob das unbekannte Operationsglied erstes oder zweites ist, und durch Vertauschung von x mit einem seiner verwandten Relative kann man immer bewirken, dass als dasselbe x selbst (nicht aber xn, x oder xn) erscheint.
Es können daher in dieser Abteilung nur die folgenden 6 Aufgaben vorliegen, deren Lösung der identische Kalkul ohne weitres liefert, und die wir nur der Vollständigkeit zuliebe sowie behufs etwaiger Vergleichung mit der höheren Stufe angeführt haben wollen:
§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
widerspricht; die Hauptdiagonale kann auf keine Weise der Forderung entsprechend besetzt werden — q. e. d.
Bei der obigen Zusammenstellung der allereinfachsten Probleme sind wir insofern pedantisch vollständig gewesen, als wir auch diejenigen mit- aufgeführt haben, welche durch Vertauschung der Unbekannten x mit einem ihrer verwandten Relative x̄, x̆, x̄̆ aus schon angeführten hervorgehen. In Hinkunft werden wir solches nicht mehr thun: es überheben uns dessen die Formeln 3) wonach, sobald eines der drei letztern ermittelt ist, auch x gefunden sein wird.
Wir wenden uns hienach zu den Auflösungsproblemen, welche in Subsumtionen- oder Gleichungsform mit Aufwand von drei Buchstaben gestellt werden können.
Diese zerfallen in zwei Stufen, je nachdem die knüpfende Operation auf der zwei Buchstaben aufweisenden Seite eine identische oder eine relative ist.
Diese Knüpfung möge zuerst eine identische sein — sei es Multi- plikation sei es Addition.
Die Aufgaben sind dann — bis auf eine 14) — sämtlich leicht oder ziemlich leicht zu lösen.
Sie zerfallen in drei Hauptabteilungen, je nachdem x nur einmal neben zwei Parametern a, b, oder x zweimal neben einem Parameter a, oder x dreimal und kein Parameter in der aufzulösenden Proposition vorkommt.
Erste Hauptabteilung.
Würde x (immer sei es ohne, sei es mit Negationsstrich oder Kon- versionsringel gedacht) auf der einen Seite isolirt stehn, so hätten wir auf der andern Seite die zwei Parameter a, b vermittelst einer identischen Operation zu einem einzigen Parameter c verknüpft. Die Aufgabe müsste dann auf eine der schon erledigten 2), 3) hinauslaufen, mit dem einzigen Unterschiede, dass der Parameter c, statt beliebig gegeben, als ein in be- stimmter Weise aus a und b zusammengesetzter zu denken wäre.
Daher kommen nur die Aufgaben in Betracht, bei denen x als das eine Operationsglied in die Knüpfung eingeht, die Parameter a, b sich auf die beiden Seiten der aufzulösenden Proposition verteilen. Wegen der Kommutativität der knüpfenden Operation braucht man nicht zu unter- scheiden, ob das unbekannte Operationsglied erstes oder zweites ist, und durch Vertauschung von x mit einem seiner verwandten Relative kann man immer bewirken, dass als dasselbe x selbst (nicht aber x̄, x̆ oder x̄̆) erscheint.
Es können daher in dieser Abteilung nur die folgenden 6 Aufgaben vorliegen, deren Lösung der identische Kalkul ohne weitres liefert, und die wir nur der Vollständigkeit zuliebe sowie behufs etwaiger Vergleichung mit der höheren Stufe angeführt haben wollen:
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§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
widerspricht; die Hauptdiagonale kann auf keine Weise der Forderung
entsprechend besetzt werden — q. e. d.
Bei der obigen Zusammenstellung der allereinfachsten Probleme sind
wir insofern pedantisch vollständig gewesen, als wir auch diejenigen mit-
aufgeführt haben, welche durch Vertauschung der Unbekannten x mit einem
ihrer verwandten Relative x̄, x̆, x̄̆ aus schon angeführten hervorgehen.
In Hinkunft werden wir solches nicht mehr thun: es überheben uns dessen
die Formeln 3) wonach, sobald eines der drei letztern ermittelt ist, auch x
gefunden sein wird.
Wir wenden uns hienach zu den Auflösungsproblemen, welche in
Subsumtionen- oder Gleichungsform mit Aufwand von drei Buchstaben
gestellt werden können.
Diese zerfallen in zwei Stufen, je nachdem die knüpfende Operation
auf der zwei Buchstaben aufweisenden Seite eine identische oder eine
relative ist.
Diese Knüpfung möge zuerst eine identische sein — sei es Multi-
plikation sei es Addition.
Die Aufgaben sind dann — bis auf eine 14) — sämtlich leicht
oder ziemlich leicht zu lösen.
Sie zerfallen in drei Hauptabteilungen, je nachdem x nur einmal
neben zwei Parametern a, b, oder x zweimal neben einem Parameter a,
oder x dreimal und kein Parameter in der aufzulösenden Proposition
vorkommt.
Erste Hauptabteilung.
Würde x (immer sei es ohne, sei es mit Negationsstrich oder Kon-
versionsringel gedacht) auf der einen Seite isolirt stehn, so hätten wir auf
der andern Seite die zwei Parameter a, b vermittelst einer identischen
Operation zu einem einzigen Parameter c verknüpft. Die Aufgabe müsste
dann auf eine der schon erledigten 2), 3) hinauslaufen, mit dem einzigen
Unterschiede, dass der Parameter c, statt beliebig gegeben, als ein in be-
stimmter Weise aus a und b zusammengesetzter zu denken wäre.
Daher kommen nur die Aufgaben in Betracht, bei denen x als das
eine Operationsglied in die Knüpfung eingeht, die Parameter a, b sich auf
die beiden Seiten der aufzulösenden Proposition verteilen. Wegen der
Kommutativität der knüpfenden Operation braucht man nicht zu unter-
scheiden, ob das unbekannte Operationsglied erstes oder zweites ist, und
durch Vertauschung von x mit einem seiner verwandten Relative kann man
immer bewirken, dass als dasselbe x selbst (nicht aber x̄, x̆ oder x̄̆) erscheint.
Es können daher in dieser Abteilung nur die folgenden 6 Aufgaben
vorliegen, deren Lösung der identische Kalkul ohne weitres liefert, und die
wir nur der Vollständigkeit zuliebe sowie behufs etwaiger Vergleichung
mit der höheren Stufe angeführt haben wollen:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 299. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/313>, abgerufen am 13.05.2024.
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