Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Achte Vorlesung.

„kleiner als-“, „Diener von-“ „Vater“, „Bruder von-“ (eventuell einer
Schwester). In der zweiten Zeile von 5) ist nun jedes symmetrische
Relativ x durch ein unbestimmtes Relativ u ausgedrückt und zwar auf
zwei wesentlich verschiedene Arten, die — ebenso wie die Lösungen
von 6) — leicht zu erraten gewesen.

Der Beweis besteht in den beiden Proben. Bei 5) thut Probe 1)
dar, dass für ein beliebiges u, wenn x = uŭ ist, auch x̆ = ŭu, mithin
x̆ = x sein muss etc. Probe 2 zeigt, dass, wenn x̆ = x ist, auch x = xx̆
sein wird. Etc.

Zu 6) links hat man als Probe 1: Wenn x = uū̆, so ist x̄̆ = ū̆ + u,
mithin x ⋹ x̄̆.

Probe 2. Umgekehrt, wenn x ⋹ x̄̆ ist, so hat man xx̆ = 0, sonach
x = x · 1 = x(x̆ + x̄̆) = 0 + xx̄̆ = xx̄̆, man erhält also x selbst aus der all-
gemeinen Lösung durch die Annahme u = x. Etc. q. e. d.

Die linkseitige Proposition 6) ist äquivalent mit xx̆ = 0 und
charakterisirt x als ein „unpariges Relativ“, d. h. als ein solches,
welches nur unparige Augen (vergl. S. 138 sq.) besitzt, mithin auch keine
individuellen Selbstrelative unter sich begreift d. h. die Hauptdiagonale
unbesetzt hat; vielmehr ist dieses x = xx̄̆ ⋹ 0' und gehört x zu den
Aliorelativen.

Die rechtseitige Proposition 6) dagegen ist äquivalent mit 1 = x + x̆
und charakterisirt x als ein Relativ mit niemals andern als unparigen
Leerstellen, welches also auch, indem 1' ⋹ x + x̄̆ = x sein muss, als
Aliorelativnegat sämtliche individuellen Selbstrelative umfasst (cf. S. 132).

Hiernach bleibt nur noch 7) zu erweisen, d. h. zu zeigen, dass es un-
möglich ist, die Forderung x̄̆ = x zu erfüllen, oder dass die beiden Forde-
rungen x̄̆ ⋹ x und x ⋹ x̄̆, denen wir in 6) einzeln zu genügen gelehrt
haben, mit einander unverträglich sind.

Die Gleichung auf das Prädikat 0 gebracht verlangt nun in der That,
dass xx̆ + x̄x̄̆ ⋹ 0 werde. Nach dem Korollar zu 2) des § 8 ist aber 1' ⋹
dem Subjekte dieser Subsumtion; es würde hienach a fortiori 1' ⋹ 0 sein
müssen, was absurd ist.

Auch geometrisch ist es leicht, den Grund der Unmöglichkeit einzu-
sehen. Zwar seitlich von der Hauptdiagonale lässt sich dem, was die
Gleichung fordert, genügen. Man kann z. B. die Stellen auf der einen
Seite — sagen wir oberhalb — der Hauptdiagonale einzeln ganz nach
Willkür mit Augen besetzen oder unbesetzt lassen, wofern man als-
dann nur unterhalb der Hauptdiagonale als Spiegelbild eines Auges eine
Leerstelle, als Spiegelbild einer Leerstelle ein Auge anbringt. Für j ≠ i
wird auf diese Weise allgemein x̄_{j i} = x_{i j} oder x_{j i} = x̄_{i j} werden. Dagegen
bei j = i, das ist auf der Hauptdiagonale selbst, müsste x̄_{i i} = x_{i i} werden,
jede Stelle zu gleicher Zeit Leerstelle sein und ein Auge tragen, was sich