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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 20. Noch Einiges von Quaderrelativen.

Die einfachste Form, welche sich der Charakteristik eines Quader-
relativs geben lässt, ist wol diese:
25)

x ; 1 ; x = x

x j 0 j x = x.

Ein Relativ x ist immer dann und nur dann ein Augenquader-
relativ, wenn es der Relation links in 25) genügt, ein Lückenquader-
relativ, wenn es die Forderung rechts erfüllt.

Beweis (nochmals in andrer Weise). Denn ist x = (a j 0)(0 j b),
so haben wir im Hinblick auf 5) des § 11 sowie 24) des § 18:
x ; 1 ; x = (a j 0)(0 j b) ; 1 · 1 ; (a j 0)(0 j b) = (a j 0)(0 j b) · (0 j b) ; 1 · 1 ; (a j 0),
wo wegen a j 0 1 ; (a j 0), etc. die beiden letzten Faktoren unterdrückbar
sind, mithin x ; 1 ; x = x. Und umgekehrt lässt sich jedes solche x als
(x ; 1 j 0)(0 j 1 ; x) darstellen, q. e. d.

Begreiflich ist das Konverse eines Quaderrelativs wiederum ein
solches der nämlichen, das Negat aber ein solches der entgegen-
gesetzten Art.

Die Formen, in welchen ein Quaderrelativ dargestellt werden kann,
sind hienach sehr mannigfaltig. Ein Augenquaderrelativ z. B. kann in
folgenden 8 Gestalten als identisches sowol wie als relatives Produkt
angesetzt werden:
(a j 0)(0 j b) = (a j 0) ; (0 j b), a ; 1 · 1 ; b = a ; 1 ; b,
a ; 1 · (0 j b) = a ; (0 j b), (a j 0) · 1 ; b = (a j 0) ; b
und können in diesen noch unbeschadet der Allgemeinheit a und b
durch ein und dasselbe Relativsymbol c ersetzt werden. Ebenso ein
Lückenquaderrelativ mit:
a ; 1 + 1 ; b = a ; 1 j 1 ; b, a j 0 + 0 j b = a j 0 j b,
a ; 1 + 0 j b = a ; 1 j b, a j 0 + 1 ; b = a j 1 ; b.

Will man Sätze über solche Relative statuiren, so wird man, um
die Formeln nicht unnötig zu vervielfältigen, gut thun, eine von diesen
Formen als typische zu bevorzugen und scheinen sich hiezu die beiden:
a ; 1 ; b und a j 0 j b
durch ihre Einfachheit am besten zu eignen.

Es gelten über die Einordnung zwischen Quaderrelativen und
Moduln, desgleichen zwischen jenen unter sich, eine Reihe von be-
merkenswerten Sätzen. Und zwar zunächst:
26)

(a ; 1 ; b = 0) = (a = 0) + (b = 0)

(1 = a j 0 j b) = (1 = a) + (1 = b),

27) [Formel 1]

19*

§ 20. Noch Einiges von Quaderrelativen.

Die einfachste Form, welche sich der Charakteristik eines Quader-
relativs geben lässt, ist wol diese:
25)

x ; 1 ; x = x

x ɟ 0 ɟ x = x.

Ein Relativ x ist immer dann und nur dann ein Augenquader-
relativ, wenn es der Relation links in 25) genügt, ein Lückenquader-
relativ, wenn es die Forderung rechts erfüllt.

Beweis (nochmals in andrer Weise). Denn ist x = (a ɟ 0)(0 ɟ b),
so haben wir im Hinblick auf 5) des § 11 sowie 24) des § 18:
x ; 1 ; x = (a ɟ 0)(0 ɟ b) ; 1 · 1 ; (a ɟ 0)(0 ɟ b) = (a ɟ 0)(0 ɟ b) · (0 ɟ b) ; 1 · 1 ; (a ɟ 0),
wo wegen a ɟ 0 ⋹ 1 ; (a ɟ 0), etc. die beiden letzten Faktoren unterdrückbar
sind, mithin x ; 1 ; x = x. Und umgekehrt lässt sich jedes solche x als
(x ; 1 ɟ 0)(0 ɟ 1 ; x) darstellen, q. e. d.

Begreiflich ist das Konverse eines Quaderrelativs wiederum ein
solches der nämlichen, das Negat aber ein solches der entgegen-
gesetzten Art.

Die Formen, in welchen ein Quaderrelativ dargestellt werden kann,
sind hienach sehr mannigfaltig. Ein Augenquaderrelativ z. B. kann in
folgenden 8 Gestalten als identisches sowol wie als relatives Produkt
angesetzt werden:
(a ɟ 0)(0 ɟ b) = (a ɟ 0) ; (0 ɟ b), a ; 1 · 1 ; b = a ; 1 ; b,
a ; 1 · (0 ɟ b) = a ; (0 ɟ b), (a ɟ 0) · 1 ; b = (a ɟ 0) ; b
und können in diesen noch unbeschadet der Allgemeinheit a und b
durch ein und dasselbe Relativsymbol c ersetzt werden. Ebenso ein
Lückenquaderrelativ mit:
a ; 1 + 1 ; b = a ; 1 ɟ 1 ; b, a ɟ 0 + 0 ɟ b = a ɟ 0 ɟ b,
a ; 1 + 0 ɟ b = a ; 1 ɟ b, a ɟ 0 + 1 ; b = a ɟ 1 ; b.

Will man Sätze über solche Relative statuiren, so wird man, um
die Formeln nicht unnötig zu vervielfältigen, gut thun, eine von diesen
Formen als typische zu bevorzugen und scheinen sich hiezu die beiden:
a ; 1 ; b und a ɟ 0 ɟ b
durch ihre Einfachheit am besten zu eignen.

Es gelten über die Einordnung zwischen Quaderrelativen und
Moduln, desgleichen zwischen jenen unter sich, eine Reihe von be-
merkenswerten Sätzen. Und zwar zunächst:
26)

(a ; 1 ; b = 0) = (a = 0) + (b = 0)

(1 = a ɟ 0 ɟ b) = (1 = a) + (1 = b),

27) [Formel 1]

19*

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[291/0305] § 20. Noch Einiges von Quaderrelativen. Die einfachste Form, welche sich der Charakteristik eines Quader- relativs geben lässt, ist wol diese: 25) x ; 1 ; x = x x ɟ 0 ɟ x = x. Ein Relativ x ist immer dann und nur dann ein Augenquader- relativ, wenn es der Relation links in 25) genügt, ein Lückenquader- relativ, wenn es die Forderung rechts erfüllt. Beweis (nochmals in andrer Weise). Denn ist x = (a ɟ 0)(0 ɟ b), so haben wir im Hinblick auf 5) des § 11 sowie 24) des § 18: x ; 1 ; x = (a ɟ 0)(0 ɟ b) ; 1 · 1 ; (a ɟ 0)(0 ɟ b) = (a ɟ 0)(0 ɟ b) · (0 ɟ b) ; 1 · 1 ; (a ɟ 0), wo wegen a ɟ 0 ⋹ 1 ; (a ɟ 0), etc. die beiden letzten Faktoren unterdrückbar sind, mithin x ; 1 ; x = x. Und umgekehrt lässt sich jedes solche x als (x ; 1 ɟ 0)(0 ɟ 1 ; x) darstellen, q. e. d. Begreiflich ist das Konverse eines Quaderrelativs wiederum ein solches der nämlichen, das Negat aber ein solches der entgegen- gesetzten Art. Die Formen, in welchen ein Quaderrelativ dargestellt werden kann, sind hienach sehr mannigfaltig. Ein Augenquaderrelativ z. B. kann in folgenden 8 Gestalten als identisches sowol wie als relatives Produkt angesetzt werden: (a ɟ 0)(0 ɟ b) = (a ɟ 0) ; (0 ɟ b), a ; 1 · 1 ; b = a ; 1 ; b, a ; 1 · (0 ɟ b) = a ; (0 ɟ b), (a ɟ 0) · 1 ; b = (a ɟ 0) ; b und können in diesen noch unbeschadet der Allgemeinheit a und b durch ein und dasselbe Relativsymbol c ersetzt werden. Ebenso ein Lückenquaderrelativ mit: a ; 1 + 1 ; b = a ; 1 ɟ 1 ; b, a ɟ 0 + 0 ɟ b = a ɟ 0 ɟ b, a ; 1 + 0 ɟ b = a ; 1 ɟ b, a ɟ 0 + 1 ; b = a ɟ 1 ; b. Will man Sätze über solche Relative statuiren, so wird man, um die Formeln nicht unnötig zu vervielfältigen, gut thun, eine von diesen Formen als typische zu bevorzugen und scheinen sich hiezu die beiden: a ; 1 ; b und a ɟ 0 ɟ b durch ihre Einfachheit am besten zu eignen. Es gelten über die Einordnung zwischen Quaderrelativen und Moduln, desgleichen zwischen jenen unter sich, eine Reihe von be- merkenswerten Sätzen. Und zwar zunächst: 26) (a ; 1 ; b = 0) = (a = 0) + (b = 0) (1 = a ɟ 0 ɟ b) = (1 = a) + (1 = b), 27) [FORMEL] 19*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 291. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/305>, abgerufen am 23.11.2024.

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