Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Siebente Vorlesung.

Stellt nämlich x irgend eine Wurzel der Aufgabe vor, für die also
die Voraussetzungen 30) von vornherein zutreffen, und nimmt man u = x,
so bewahrheitet sich die Gleichung 32) wie folgt.

Wegen 30) ist: uc = xc = x und (c ; b)(x̄ ɟ b̄) = 0, also
f(uc) = f(x) = 0 ; b̆ = 0 und F(uc) = F(x) = x
selbst, mithin auch nach § 13, S. 188sq.: F^∞(uc) = F^∞(x) = x. Damit
verschwindet das letzte Glied in 32) und läuft diese Gleichung auf die
Identität x = x hinaus, q. e. d.

Ist so die „fragliche“ Lösung 32) einerseits in der That ohne Zweifel
vollständig, so ist sie andrerseits — wie wir demnächst genauer nachweisen
— doch nicht ausschliesslich, d. h. sie liefert im Allgemeinen nicht un-
bedingt, nicht für jedes u, eine richtige Wurzel. M. a. W. die Formel 32)
ist nicht die gesuchte allgemeine Lösung.

Dieser Umstand ist im Hinblick auf den Gedankengang, der zu der
Formel führte — bei dem man doch wähnen mochte, sämtliche Anforde-
rungen, die das Problem stellt, erfüllt zu haben! — sehr überraschend.
Derselbe kann nicht verfehlen, zu lehrreichen Untersuchungen (die ich mir
hiernächst versagen muss) noch Anlass zu geben, und mahnt solche Er-
fahrung jedenfalls in unsrer Disziplin zu grosser Behutsamkeit und Vorsicht.

Die Thatsache dokumentirt sich zunächst darin, dass es auf keine
Weise gelingen will, mit der fraglichen Lösung auch die „Probe 1“ zu
machen: zu zeigen, dass der Ausdruck 32) für x gesetzt nun die Forde-
rung x ; b = c ; b bei beliebigem u erfülle. Vielmehr stellt sich bei solchem
Versuche heraus, dass u selbst noch eine Relation erfüllen muss, die un-
endlich viel komplizirter scheint, als es die aufzulösende Gleichung für x
gewesen.

Um durch Exemplifikation zu erhärten, dass die Gleichung 32) Gefahr
läuft, auch „falsche“ Wurzeln, d. h. noch andre Werte, als wie Wurzeln
unsres Problems zu liefern, genügt es bereits, dieselbe für b = 0' in An-
spruch zu nehmen.

Zwar für b = 1, 0, 1' zeigt sich leicht, dass f(y) = 0, F(y) = y = F^∞(y)
wird, die Entwickelung sofort abbricht und in Übereinstimmung mit 23)sqq.
die richtige Lösung liefert — im ersten Falle, zu x ; 1 = a, allerdings in
der neuen Form: x = a{u + (ā + ū) ɟ 0}, die man aber als eine von der
23) nur unwesentlich verschiedene mit Rücksicht auf die Resultante a = a ; 1
unschwer auf jene zurückführt.

Dagegen für b = 0' bricht die Entwickelung nicht sofort und im All-
gemeinen nicht ab. Hier muss zuvörderst, soll x ; 0' = a = 1αβγ0 auf-
lösbar sein, a = (a ɟ 1') ; 0' = 1α000 sein, d. h. a von vornherein der Zeilen-
kategorien β und γ entraten. Es wird c = a ɟ 1' = 1ᾱ000 und
c ; b · c̄ ; b = 0α000
im Allgemeinen ≠ 0. Nennt man
uc = y, c ; 0' · c̄ ; 0' = d, d(ȳ ɟ 1') ; 0' = f(y), F(y) = y + f(y) = z, F^∞(y) = ω,
so ist x = ω + (c ; 0')(ω̄ ɟ 1') ; 0' zu berechnen.