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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 19. Heuristik des erweiterten zweiten Inversionsproblems.

Nimmt man aber [Formel 1] und b = an an, so lässt sich letztres
widerlegen, indem als Subjekt: [Formel 2] , als Prädikat: [Formel 3] erscheint. --

Obwol es nach alledem nicht ausgeschlossen erscheint, dass auch für
das allgemeine dritte Inversionsproblem noch bessere Lösungsformen als
die von uns gegebne allgemeine Lösung möglich sind -- vielleicht auch
nur für umfassendere Klassen von Partikularfällen desselben -- dürfte es
nicht ganz leicht sein, solchen auf die Spur zu kommen.

Wie wir sahen lief die Lösung des dritten Inversionsproblems
(und von dessen Erweiterungen) hinaus auf das "erweiterte zweite".

Ich glaube nun schuldig zu sein anzugeben auf welche Weise mir
die Lösung 11) des letzteren zu finden gelang, da eine blos kund-
gegebene und verifizirte Lösung das Erkenntnisstreben sicherlich nicht
befriedigt:

Obwol ein günstiger Zufall mitwirkte, ist in meiner Herleitung doch
vielleicht ein Stück Methode zu erblicken woraus sich etwas lernen lässt.

Während die Resultante a c ; b als erfüllt vorausgesetzt wird, sollte
der Forderung a xc ; b durch geeignete Bestimmung von x auf die all-
gemeinste Weise genügt werden. Für
1 (Pi)Pj(ani j + Slci lbl j)
ist also die Subsumtion
1 (Pi)Pj(ani j + Slxi lci lbl j)
nach den Unbekannten xi l symmetrisch allgemein aufzulösen. Da diese
durchweg nur mit demselben ersten Index i vorkommen, braucht man die
Aufgabe nur für ein bestimmtes i zu lösen und das Resultat hernach all-
gemein (für jedes i) in Anspruch zu nehmen; m. a. W. man kann vor-
stehend das Pi unterdrücken (worauf wir sogleich durch dessen Einklam-
merung hinweisen wollten) und die ganze Untersuchung als eine nach i
allgemeine -- unter der Herrschaft dieses Zeichens, "sub Pi" -- führen.

Für jedes j, wofür ani j = 1 also ai j = 0 ist, haben wir einen ineffek-
tiven Faktor des Pj, wird unsre Forderung nichtssagend und liefert sie
keine Bestimmung.

Für jedes j dagegen, wo ani j = 0 also ai j = 1 ist, wird laut Voraus-
setzung Slci lbl j = 1 sein und soll auch Slxi lci lbl j = 1 werden. Das heisst:
dann ist nach den xi l die Gleichung aufzulösen:
Slxi lci lbl j = Slci lbl j.

Dies geschieht nach dem unter Aufgabe 20 in § 51 des Bd. 2 her-
vorgehobnen partikularen Falle mittelst des Ansatzes:
xi l = ui l + Pk(uni k + cni k + bnk j)Shci hbh j, was = Uj
zur Abkürzung ad hoc genannt werde. Hienach muss für jedes j, wofür
ai j = 1 ist, sein: xi l = Uj allgemein für alle i und l, oder also es muss
werden:
sub PiPl) 1 Pj{ani j + ai j(xi l = Uj)}.

Schröder, Algebra der Relative. 18

§ 19. Heuristik des erweiterten zweiten Inversionsproblems.

Nimmt man aber [Formel 1] und b = ā an, so lässt sich letztres
widerlegen, indem als Subjekt: [Formel 2] , als Prädikat: [Formel 3] erscheint. —

Obwol es nach alledem nicht ausgeschlossen erscheint, dass auch für
das allgemeine dritte Inversionsproblem noch bessere Lösungsformen als
die von uns gegebne allgemeine Lösung möglich sind — vielleicht auch
nur für umfassendere Klassen von Partikularfällen desselben — dürfte es
nicht ganz leicht sein, solchen auf die Spur zu kommen.

Wie wir sahen lief die Lösung des dritten Inversionsproblems
(und von dessen Erweiterungen) hinaus auf das „erweiterte zweite“.

Obwol ein günstiger Zufall mitwirkte, ist in meiner Herleitung doch
vielleicht ein Stück Methode zu erblicken woraus sich etwas lernen lässt.

Während die Resultante a ⋹ c ; b als erfüllt vorausgesetzt wird, sollte
der Forderung a ⋹ xc ; b durch geeignete Bestimmung von x auf die all-
gemeinste Weise genügt werden. Für
1 ⋹ (Πi)Πj(āi j + Σlci lbl j)
ist also die Subsumtion
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nach den Unbekannten xi l symmetrisch allgemein aufzulösen. Da diese
durchweg nur mit demselben ersten Index i vorkommen, braucht man die
Aufgabe nur für ein bestimmtes i zu lösen und das Resultat hernach all-
gemein (für jedes i) in Anspruch zu nehmen; m. a. W. man kann vor-
stehend das Πi unterdrücken (worauf wir sogleich durch dessen Einklam-
merung hinweisen wollten) und die ganze Untersuchung als eine nach i
allgemeine — unter der Herrschaft dieses Zeichens, „sub Πi“ — führen.

Für jedes j, wofür āi j = 1 also ai j = 0 ist, haben wir einen ineffek-
tiven Faktor des Πj, wird unsre Forderung nichtssagend und liefert sie
keine Bestimmung.

Für jedes j dagegen, wo āi j = 0 also ai j = 1 ist, wird laut Voraus-
setzung Σlci lbl j = 1 sein und soll auch Σlxi lci lbl j = 1 werden. Das heisst:
dann ist nach den xi l die Gleichung aufzulösen:
Σlxi lci lbl j = Σlci lbl j.

Dies geschieht nach dem unter Aufgabe 20 in § 51 des Bd. 2 her-
vorgehobnen partikularen Falle mittelst des Ansatzes:
xi l = ui l + Πk(ūi k + c̄i k + b̄k j)Σhci hbh j, was = Uj
zur Abkürzung ad hoc genannt werde. Hienach muss für jedes j, wofür
ai j = 1 ist, sein: xi l = Uj allgemein für alle i und l, oder also es muss
werden:
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Schröder, Algebra der Relative. 18

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[273/0287] § 19. Heuristik des erweiterten zweiten Inversionsproblems. Nimmt man aber [FORMEL] und b = ā an, so lässt sich letztres widerlegen, indem als Subjekt: [FORMEL], als Prädikat: [FORMEL] erscheint. — Obwol es nach alledem nicht ausgeschlossen erscheint, dass auch für das allgemeine dritte Inversionsproblem noch bessere Lösungsformen als die von uns gegebne allgemeine Lösung möglich sind — vielleicht auch nur für umfassendere Klassen von Partikularfällen desselben — dürfte es nicht ganz leicht sein, solchen auf die Spur zu kommen. Wie wir sahen lief die Lösung des dritten Inversionsproblems (und von dessen Erweiterungen) hinaus auf das „erweiterte zweite“. Ich glaube nun schuldig zu sein anzugeben auf welche Weise mir die Lösung 11) des letzteren zu finden gelang, da eine blos kund- gegebene und verifizirte Lösung das Erkenntnisstreben sicherlich nicht befriedigt: Obwol ein günstiger Zufall mitwirkte, ist in meiner Herleitung doch vielleicht ein Stück Methode zu erblicken woraus sich etwas lernen lässt. Während die Resultante a ⋹ c ; b als erfüllt vorausgesetzt wird, sollte der Forderung a ⋹ xc ; b durch geeignete Bestimmung von x auf die all- gemeinste Weise genügt werden. Für 1 ⋹ (Πi)Πj(āi j + Σlci lbl j) ist also die Subsumtion 1 ⋹ (Πi)Πj(āi j + Σlxi lci lbl j) nach den Unbekannten xi l symmetrisch allgemein aufzulösen. Da diese durchweg nur mit demselben ersten Index i vorkommen, braucht man die Aufgabe nur für ein bestimmtes i zu lösen und das Resultat hernach all- gemein (für jedes i) in Anspruch zu nehmen; m. a. W. man kann vor- stehend das Πi unterdrücken (worauf wir sogleich durch dessen Einklam- merung hinweisen wollten) und die ganze Untersuchung als eine nach i allgemeine — unter der Herrschaft dieses Zeichens, „sub Πi“ — führen. Für jedes j, wofür āi j = 1 also ai j = 0 ist, haben wir einen ineffek- tiven Faktor des Πj, wird unsre Forderung nichtssagend und liefert sie keine Bestimmung. Für jedes j dagegen, wo āi j = 0 also ai j = 1 ist, wird laut Voraus- setzung Σlci lbl j = 1 sein und soll auch Σlxi lci lbl j = 1 werden. Das heisst: dann ist nach den xi l die Gleichung aufzulösen: Σlxi lci lbl j = Σlci lbl j. Dies geschieht nach dem unter Aufgabe 20 in § 51 des Bd. 2 her- vorgehobnen partikularen Falle mittelst des Ansatzes: xi l = ui l + Πk(ūi k + c̄i k + b̄k j)Σhci hbh j, was = Uj zur Abkürzung ad hoc genannt werde. Hienach muss für jedes j, wofür ai j = 1 ist, sein: xi l = Uj allgemein für alle i und l, oder also es muss werden: sub ΠiΠl) 1 ⋹ Πj{āi j + ai j(xi l = Uj)}. Schröder, Algebra der Relative. 18

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 273. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/287>, abgerufen am 10.05.2024.

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