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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 19. Erweiterte zweite Inversionsprobleme.

Beweis -- zum ersten Satze 11). Aus xc ; b c ; b folgt zunächst
die angegebne Resultante und erweist sich durch die Wurzel x = 1 als die
volle. Ferner stimmt die Probe 2, indem für a xc ; b ja a{xn + cn) j bn} = 0
wird. Sobald aber die Resultante a c ; b erfüllt ist, hat man a = a · c ; b
und verlangt die Probe 1, dass
a · c ; b uc ; b + [a{(un + cn) j bn} ; b]c ; b
als allgemein gültige Formel nachgewiesen werde -- desgleichen für das
durch 1 ersetzte b.

Nennt man uc ; b = d, so ist sogar
a · c ; b d + (adn ; b)c ; b d + (adn ; 1)c ; b
als bedingungslos für alle a, b, c, d gültig nachweisbar.

Für den letzten Teil könnte durch überschiebendes Multipliziren von
c ; b c ; b mit adn adn ; 1 mit Rücksicht auf 5) des § 18 der Beweis
selbständig geleistet werden. Derselbe wird jedoch durch den der vorher-
gehenden Subsumtion überflüssig gemacht.

Für diese kann zwar mittelst
Li j = ai jShci hbh j, Ri j = di j + Sh kai kdni kbh kci hbh j
die Koeffizientenevidenz schon leicht herbeigeführt werden, indem in Ri j
mit k = j auch die Glieder vorkommen: di j + ai jdni jShci hbh j = di j + Li j,
denen also Li j in der That eingeordnet ist, q. e. d. Doch lässt sich selbst
dieser einfache Beweis noch weiter vereinfachen mittelst Aufstellung eines
an sich interessanten Hülfssatzes:
a · c ; b (a ; b)c ; b,
dessen Beweis sich mit ai jShci hbh j Sh kai kbh kci hbh j aus der Bemerkung
erledigt, dass die Glieder linkerhand auch unter denen rechterhand, bei
k = j, sämtlich vorkommen.

Nach diesem Hülfssatze müssen wir nun, adn für a sagend, eine Formel
haben, welche unmittelbar auf die oben zu beweisende hinausläuft.

Unsre Ausbeute an Sätzen bei vorstehenden Beweisen besteht --
wenn wir noch einige Buchstabenvertauschungen vornehmen, auch zu
Gespannen ergänzen -- vor allem aus den Hülfssätzen":
12) [Formel 1]
deren konjugirte sich nicht nur vereinigen lassen würden, sondern
auch a fortiori enthalten erscheinen in der noch weiter gehenden Be-
hauptung:
13)

a ; b · c (c ; b)a ; b(a ; c)

(c j b + a) j (b + a j c) a j b + c

§ 19. Erweiterte zweite Inversionsprobleme.

Beweis — zum ersten Satze 11). Aus xc ; b ⋹ c ; b folgt zunächst
die angegebne Resultante und erweist sich durch die Wurzel x = 1 als die
volle. Ferner stimmt die Probe 2, indem für a ⋹ xc ; b ja a{x̄ + c̄) ɟ b̄} = 0
wird. Sobald aber die Resultante a ⋹ c ; b erfüllt ist, hat man a = a · c ; b
und verlangt die Probe 1, dass
a · c ; b ⋹ uc ; b + [a{(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆]c ; b
als allgemein gültige Formel nachgewiesen werde — desgleichen für das
durch 1 ersetzte b̆.

Nennt man uc ; b = d, so ist sogar
a · c ; b ⋹ d + (ad̄ ; b̆)c ; b ⋹ d + (ad̄ ; 1)c ; b
als bedingungslos für alle a, b, c, d gültig nachweisbar.

Für den letzten Teil könnte durch überschiebendes Multipliziren von
c ; b ⋹ c ; b mit ad̄ ⋹ ad̄ ; 1 mit Rücksicht auf 5) des § 18 der Beweis
selbständig geleistet werden. Derselbe wird jedoch durch den der vorher-
gehenden Subsumtion überflüssig gemacht.

Für diese kann zwar mittelst
Li j = ai jΣhci hbh j, Ri j = di j + Σh kai kd̄i kbh kci hbh j
die Koeffizientenevidenz schon leicht herbeigeführt werden, indem in Ri j
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denen also Li j in der That eingeordnet ist, q. e. d. Doch lässt sich selbst
dieser einfache Beweis noch weiter vereinfachen mittelst Aufstellung eines
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dessen Beweis sich mit ai jΣhci hbh j ⋹ Σh kai kbh kci hbh j aus der Bemerkung
erledigt, dass die Glieder linkerhand auch unter denen rechterhand, bei
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Nach diesem Hülfssatze müssen wir nun, ad̄ für a sagend, eine Formel
haben, welche unmittelbar auf die oben zu beweisende hinausläuft.

Unsre Ausbeute an Sätzen bei vorstehenden Beweisen besteht —
wenn wir noch einige Buchstabenvertauschungen vornehmen, auch zu
Gespannen ergänzen — vor allem aus den Hülfssätzen“:
12) [Formel 1]
deren konjugirte sich nicht nur vereinigen lassen würden, sondern
auch a fortiori enthalten erscheinen in der noch weiter gehenden Be-
hauptung:
13)

a ; b · c ⋹ (c ; b̆)a ; b(ă ; c)

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[263/0277] § 19. Erweiterte zweite Inversionsprobleme. Beweis — zum ersten Satze 11). Aus xc ; b ⋹ c ; b folgt zunächst die angegebne Resultante und erweist sich durch die Wurzel x = 1 als die volle. Ferner stimmt die Probe 2, indem für a ⋹ xc ; b ja a{x̄ + c̄) ɟ b̄} = 0 wird. Sobald aber die Resultante a ⋹ c ; b erfüllt ist, hat man a = a · c ; b und verlangt die Probe 1, dass a · c ; b ⋹ uc ; b + [a{(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆]c ; b als allgemein gültige Formel nachgewiesen werde — desgleichen für das durch 1 ersetzte b̆. Nennt man uc ; b = d, so ist sogar a · c ; b ⋹ d + (ad̄ ; b̆)c ; b ⋹ d + (ad̄ ; 1)c ; b als bedingungslos für alle a, b, c, d gültig nachweisbar. Für den letzten Teil könnte durch überschiebendes Multipliziren von c ; b ⋹ c ; b mit ad̄ ⋹ ad̄ ; 1 mit Rücksicht auf 5) des § 18 der Beweis selbständig geleistet werden. Derselbe wird jedoch durch den der vorher- gehenden Subsumtion überflüssig gemacht. Für diese kann zwar mittelst Li j = ai jΣhci hbh j, Ri j = di j + Σh kai kd̄i kbh kci hbh j die Koeffizientenevidenz schon leicht herbeigeführt werden, indem in Ri j mit k = j auch die Glieder vorkommen: di j + ai jd̄i jΣhci hbh j = di j + Li j, denen also Li j in der That eingeordnet ist, q. e. d. Doch lässt sich selbst dieser einfache Beweis noch weiter vereinfachen mittelst Aufstellung eines an sich interessanten Hülfssatzes: a · c ; b ⋹ (a ; b̆)c ; b, dessen Beweis sich mit ai jΣhci hbh j ⋹ Σh kai kbh kci hbh j aus der Bemerkung erledigt, dass die Glieder linkerhand auch unter denen rechterhand, bei k = j, sämtlich vorkommen. Nach diesem Hülfssatze müssen wir nun, ad̄ für a sagend, eine Formel haben, welche unmittelbar auf die oben zu beweisende hinausläuft. Unsre Ausbeute an Sätzen bei vorstehenden Beweisen besteht — wenn wir noch einige Buchstabenvertauschungen vornehmen, auch zu Gespannen ergänzen — vor allem aus den Hülfssätzen“: 12) [FORMEL] deren konjugirte sich nicht nur vereinigen lassen würden, sondern auch a fortiori enthalten erscheinen in der noch weiter gehenden Be- hauptung: 13) a ; b · c ⋹ (c ; b̆)a ; b(ă ; c) (c ɟ b̆ + a) ɟ (b + ă ɟ c) ⋹ a ɟ b + c

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 263. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/277>, abgerufen am 10.05.2024.

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