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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 17. Erste 4 Inversionstheoreme.
besagten. Man erkennt dies, indem man dort die drei Buchstaben durch
ihre Strichkonverse ersetzt und ausserdem b mit c vertauscht -- wodurch
in der That das eine Zeilenpaar aus dem andern hervorgehn wird.

Von dem hienach allein zu rechtfertigenden ersten Zeilenpaare geht
die eine Zeile aus der andern durch Konvertiren hervor. Daher bleibt
nur die erste Zeile zu begründen.

Von den sechs Subsumtionen der ersten Zeile gehen die drei letzten
durch konvertirende Kontraposition aus den drei ersten hervor und ist
deshalb blos die Äquivalenz dieser dreie darzuthun.

Letztere ist bereits garantirt durch die Äquivalenz der beiden ersten
Subsumtionen.

Denn wenn mit dem Beweis der ersten Gleichung 2) der Satz ge-
wonnen ist, dass in einer Subsumtion von der Form der ersten die drei
Buchstaben im Ringe herum vertauscht werden dürfen, so ist man berech-
tigt diesen Satz auch wiederholt anzuwenden, und man wird die dritte Sub-
sumtion auf demselben Wege aus der zweiten erhalten wie diese aus der
ersten. Dasselbe Verfahren nochmals auf die dritte Subsumtion angewendet
liefert dann nichts neues mehr, sondern führt blos wieder auf die erste
Subsumtion zurück.

Um aber jenen (einzigen) Beweis zu führen, ist nur zu zeigen dass
Pi j(Shbi hch janj i) = Pi j(Shci hah jbnj i),
d. h.
Pi j(Shaj ibi hch j = 0) = Pi j(Shbj ici hah j = 0),
Pi j h(aj ibi hch j = 0) = Pi j h(ah jbj ici h = 0)
oder auch -- wenn man will:
(Si j haj ibi hch j = 0) = (Si j hah jbj ici h = 0)
sein muss. Und dies ist evident, weil hier die eine Seite aus der andern
hervorgeht durch cyklische Vertauschung der laufenden Zeiger i, j, h, deren
Benennung ohnehin gleichgültig ist -- mit Rücksicht auf Sj h i = Si j h -- q. e. d.

Zu Zwecken der Anwendung dürften übrigens die minder symme-
trischen Ausdrucksformen unsres Satzes häufig bequemer sein:
3) [Formel 1]

Bedenkt man noch, dass eine jede von den zwölf einander äqui-
valenten Subsumtionen in 2) oder 3) auch auf das Subjekt 1 oder
auf das Prädikat 0 gebracht werden kann, und ferner, dass sie nach
den Theoremen von Robert Grassmann auf zwei Arten in eine
Gleichung umgesetzt werden mag -- indem z. B.

16*

§ 17. Erste 4 Inversionstheoreme.
besagten. Man erkennt dies, indem man dort die drei Buchstaben durch
ihre Strichkonverse ersetzt und ausserdem b mit c vertauscht — wodurch
in der That das eine Zeilenpaar aus dem andern hervorgehn wird.

Von dem hienach allein zu rechtfertigenden ersten Zeilenpaare geht
die eine Zeile aus der andern durch Konvertiren hervor. Daher bleibt
nur die erste Zeile zu begründen.

Von den sechs Subsumtionen der ersten Zeile gehen die drei letzten
durch konvertirende Kontraposition aus den drei ersten hervor und ist
deshalb blos die Äquivalenz dieser dreie darzuthun.

Letztere ist bereits garantirt durch die Äquivalenz der beiden ersten
Subsumtionen.

Denn wenn mit dem Beweis der ersten Gleichung 2) der Satz ge-
wonnen ist, dass in einer Subsumtion von der Form der ersten die drei
Buchstaben im Ringe herum vertauscht werden dürfen, so ist man berech-
tigt diesen Satz auch wiederholt anzuwenden, und man wird die dritte Sub-
sumtion auf demselben Wege aus der zweiten erhalten wie diese aus der
ersten. Dasselbe Verfahren nochmals auf die dritte Subsumtion angewendet
liefert dann nichts neues mehr, sondern führt blos wieder auf die erste
Subsumtion zurück.

Um aber jenen (einzigen) Beweis zu führen, ist nur zu zeigen dass
Πi j(Σhbi hch j⋹āj i) = Πi j(Σhci hah j⋹b̄j i),
d. h.
Πi j(Σhaj ibi hch j = 0) = Πi j(Σhbj ici hah j = 0),
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oder auch — wenn man will:
(Σi j haj ibi hch j = 0) = (Σi j hah jbj ici h = 0)
sein muss. Und dies ist evident, weil hier die eine Seite aus der andern
hervorgeht durch cyklische Vertauschung der laufenden Zeiger i, j, h, deren
Benennung ohnehin gleichgültig ist — mit Rücksicht auf Σj h i = Σi j h — q. e. d.

Zu Zwecken der Anwendung dürften übrigens die minder symme-
trischen Ausdrucksformen unsres Satzes häufig bequemer sein:
3) [Formel 1]

Bedenkt man noch, dass eine jede von den zwölf einander äqui-
valenten Subsumtionen in 2) oder 3) auch auf das Subjekt 1 oder
auf das Prädikat 0 gebracht werden kann, und ferner, dass sie nach
den Theoremen von Robert Grassmann auf zwei Arten in eine
Gleichung umgesetzt werden mag — indem z. B.

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[243/0257] § 17. Erste 4 Inversionstheoreme. besagten. Man erkennt dies, indem man dort die drei Buchstaben durch ihre Strichkonverse ersetzt und ausserdem b mit c vertauscht — wodurch in der That das eine Zeilenpaar aus dem andern hervorgehn wird. Von dem hienach allein zu rechtfertigenden ersten Zeilenpaare geht die eine Zeile aus der andern durch Konvertiren hervor. Daher bleibt nur die erste Zeile zu begründen. Von den sechs Subsumtionen der ersten Zeile gehen die drei letzten durch konvertirende Kontraposition aus den drei ersten hervor und ist deshalb blos die Äquivalenz dieser dreie darzuthun. Letztere ist bereits garantirt durch die Äquivalenz der beiden ersten Subsumtionen. Denn wenn mit dem Beweis der ersten Gleichung 2) der Satz ge- wonnen ist, dass in einer Subsumtion von der Form der ersten die drei Buchstaben im Ringe herum vertauscht werden dürfen, so ist man berech- tigt diesen Satz auch wiederholt anzuwenden, und man wird die dritte Sub- sumtion auf demselben Wege aus der zweiten erhalten wie diese aus der ersten. Dasselbe Verfahren nochmals auf die dritte Subsumtion angewendet liefert dann nichts neues mehr, sondern führt blos wieder auf die erste Subsumtion zurück. Um aber jenen (einzigen) Beweis zu führen, ist nur zu zeigen dass Πi j(Σhbi hch j⋹āj i) = Πi j(Σhci hah j⋹b̄j i), d. h. Πi j(Σhaj ibi hch j = 0) = Πi j(Σhbj ici hah j = 0), Πi j h(aj ibi hch j = 0) = Πi j h(ah jbj ici h = 0) oder auch — wenn man will: (Σi j haj ibi hch j = 0) = (Σi j hah jbj ici h = 0) sein muss. Und dies ist evident, weil hier die eine Seite aus der andern hervorgeht durch cyklische Vertauschung der laufenden Zeiger i, j, h, deren Benennung ohnehin gleichgültig ist — mit Rücksicht auf Σj h i = Σi j h — q. e. d. Zu Zwecken der Anwendung dürften übrigens die minder symme- trischen Ausdrucksformen unsres Satzes häufig bequemer sein: 3) [FORMEL] Bedenkt man noch, dass eine jede von den zwölf einander äqui- valenten Subsumtionen in 2) oder 3) auch auf das Subjekt 1 oder auf das Prädikat 0 gebracht werden kann, und ferner, dass sie nach den Theoremen von Robert Grassmann auf zwei Arten in eine Gleichung umgesetzt werden mag — indem z. B. 16*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 243. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/257>, abgerufen am 10.05.2024.