Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 15. Über Beweismethoden zu Parallelreihensätzen.

könnten wir auch den letzten Summanden 1'_{l h} hier unterdrücken. Gleich-
viel ob mit Ein- oder Ausschluss von eventuell auch a_{i h} ist nun aber das
Π_l von allen a_{i l} ohne a_{i k} gewiss = 1, weil diese Faktoren eben laut Vor-
aussetzung sämtlich selbst = 1 sind. Es verbleibt demnach nur Σ_k0'_{h k} = 1
zu erkennen, was daraus erhellt, dass diese Summe mindestens einen Term
0'_{h k} = 1, wo k ≠ h ist, umfasst, q. e. d.

Man sieht zugleich, dass unser Satz 21) keines Sterns bedarf, d. h. zu
seiner Giltigkeit nicht erfordert, dass der Denkbereich 1¹ mehr als zwei
(mindestens drei) Elemente umfasse.

Will man an Stelle der obigen verbalen Überlegung rein rechnerisch
zuwerke gehen, so ist das Vorziehen des a_{i h} durch folgende Transformationen
zu bewirken:
Π_l(a_{i l} + 1'_{l k}) = Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 0) = Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 0'_{l h}1'_{l h}) =
= Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 0'_{l h})Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 1'_{l h}) = (a_{i h} + 1'_{h k})Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 1'_{l h}),
weil in dem ersten Π_l des zerfällten Produktes ausser dem verbliebenen
Faktor a_{i h} + 1'_{h k} alle übrigen wegen des Summanden 0'_{l h} = 1 unwirksam
sind. Wird das Ergebniss nun mit 0'_{h k} multiplizirt, so verschwindet der
von 1'_{h k} herrührende Term und haben wir voraussetzungslos:
L_{i j} = Π_ha_{i h}Σ_k0'_{h k}Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 1'_{l h}),
an welchen Ausdruck nun die übrigen Bemerkungen wesentlich wie oben
anzuknüpfen sind, indem man die Möglichkeiten der Fälle gemäss des Schemas
1 = Σ_h(a_{i h} = 0) + Π_h(a_{i h} = 1)
zerlegt.

Als ein weitres Paradigma wollen wir das bemerkenswerte Ge-
spann von Sätzen anführen:
23) [Formel 1]
welches in fünfziffrigem Rechnen auf das leichteste zu verifiziren ist,
und wollen für die erste Formel desselben auch die Koeffizienten-
evidenz herbeiführen.

Hier ist zu zeigen, dass
L_{i j} = Σ_ha_{i h}Π_k(ā_{i k} + 1'_{k h})0'_{h j} + Π_kΣ_ha_{i h}0'_{h k} = Σ_ha_{i h}0'_{h j} = R_{i j}
sein muss. Dies scheint nur so geschehen zu können, dass man drei
Hauptfälle unterscheidet.

Erstens: bei i habe a eine Leerzeile. Dann ist
Σ_ha_{i h} = 0 oder Π_h(a_{i h} = 0)
und kommt die Behauptung auf 0 = 0 hinaus, ist also richtig.

Zweitens: bei i habe a eine einbesetzte Zeile, und zwar sei a_{i m} = 1
aber Σ_ha_{i h}0'_{h m} = 0. Dann kommt für j = m die Gleichung abermals auf
0 = 0 hinaus, indem in L_{i j} das allgemeine Glied der Σ_h mit dem ver-
schwindenden Faktor a_{i h}0'_{h m} behaftet ist, das zweite Π_k aber die verschwin-