Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 13. Invarianz einer Funktion. Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden -- wie leicht z. B. Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u), Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da- Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte; Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt, Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
§ 13. Invarianz einer Funktion. Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden — wie leicht z. B. Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u), Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da- Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte; Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt, Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0201" n="187"/> <fw place="top" type="header">§ 13. Invarianz einer Funktion.</fw><lb/> <p>Dies ist im Allgemeinen von <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) verschieden — wie leicht z. B.<lb/> die Annahme <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">ā</hi> zeigt, wo für <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">au</hi> + <hi rendition="#i">āū</hi> nun <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">0</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>)<lb/> wird, etc.</p><lb/> <p>Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">3</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>),<lb/><hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">4</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>), etc., allgemein:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2<hi rendition="#i">ϰ</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>), <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2<hi rendition="#i">ϰ</hi> + 2</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>),</hi><lb/> mithin ist <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) divergent und <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">∞</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) sinnlos, ausgenommen in dem<lb/> oben angeführten Sonderfalle, wo schon <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) und diese Funk-<lb/> tion invariant ist.</p><lb/> <p>Gibt es ein Zahlenpaar <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">n</hi> derart, dass bei einer bestimmten<lb/> Funktion <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) für jedes <hi rendition="#i">u</hi> ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">m</hi> + <hi rendition="#i">n</hi></hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">m</hi></hi>(<hi rendition="#i">u</hi>),</hi><lb/> so nennen wir die Funktion eine „<hi rendition="#i">periodisch</hi> (oder oszillirend) iterirende<lb/> mit einer <hi rendition="#i">Iterationsperiode n</hi>“, oder schlechtweg „mit <hi rendition="#i">der</hi> Iterations-<lb/> periode <hi rendition="#i">n</hi>“, falls <hi rendition="#i">n</hi> zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen-<lb/> schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">n</hi> eingeht).</p><lb/> <p>Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter<lb/> denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion <hi rendition="#i">von der Periode 1</hi>.</p><lb/> <p>Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da-<lb/> gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode <hi rendition="#i">n</hi> > 1 ist, eine<lb/> divergent iterirende sein müssen.</p><lb/> <p>Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. 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§ 13. Invarianz einer Funktion.
Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden — wie leicht z. B.
die Annahme b = ā zeigt, wo für f(u) = au + āū nun f2(u) = u = f0(u)
wird, etc.
Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f3(u) = f(u),
f4(u) = f2(u), etc., allgemein:
f2ϰ + 1(u) = f(u), f2ϰ + 2(u) = f2(u),
mithin ist fr(u) divergent und f∞(u) sinnlos, ausgenommen in dem
oben angeführten Sonderfalle, wo schon f2(u) = f(u) und diese Funk-
tion invariant ist.
Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten
Funktion f(u) für jedes u ist:
fm + n(u) = fm(u),
so nennen wir die Funktion eine „periodisch (oder oszillirend) iterirende
mit einer Iterationsperiode n“, oder schlechtweg „mit der Iterations-
periode n“, falls n zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen-
schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar m, n eingeht).
Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter
denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion von der Periode 1.
Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da-
gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode n > 1 ist, eine
divergent iterirende sein müssen.
Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein
— wenn wir das stets hinzuzudenkende Argument (u) unterdrücken —
f8 = f5, so wird auch f9 = f6, f10 = f7, f11 = f5, f12 = f6, f13 = f7, f14 = f5,
u. s. w. Die Iterationen von f, deren Periode gleich 3 ist, werden also
ewig fort von einem der drei (als verschieden vorauszusetzen gewesenen)
Werte f5, f6, f7 zum andern im Ring herum (vom letzten wieder zum
ersten) oszilliren und f∞ ist keiner bestimmten Deutung fähig.
Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fn(u) = u selbst sein sollte;
hier wiederholen sich dann beim unbegrenzt fortgesetzten Iteriren in ste-
tiger Folge die Werte f0, f, f2, f3, …, fn — 1, [f0 (oder u), f, etc.].
Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt,
dass sie, sofern sie nicht invariant ist, eine periodisch iterirende mit der
Periode 2 sein muss.
Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit
divergenten Iterationen führen können (und im Allgemeinen führen werden)
zeigt schon das Beispiel f(u) = a ; u, in welchem fr(u) = ar ; u, gleichwie
die Potenz ar selbst, im Allgemeinen oszilliren wird.
Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
von f(u) haben wir nun:
12) fr + 1(u) = fr(u)φ{fr(u)} fr + 1(u) = fr(u) + ψ{fr(u)}.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 187. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/201>, abgerufen am 01.09.2024. |