Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Fünfte Vorlesung.

eine feste Grenze. In diesem gilt ein gleiches für die Augen und konver-
girt die Potenz „zunehmend“ gegen eine Grenze.

Ist insbesondre x von der Form 1' + a, so ist x ; x = 1' + a + a ; a,
mithin in der That x ⋹ x ; x und folglich hat das Symbol (1' + a)^∞ für jede
Bedeutung von a einen Sinn.

Ebenso, wenn die Basis x einer Potenz x^λ von der Form a ; ă (mithin,
ă für a gesagt, zugleich auch von der Form ă ; a) ist, muss diese Potenz
konvergiren — und zwar aufgrund des Satzes:

a ; ă ⋹ a ; ă ; a ; ă

a ɟ ă ɟ a ɟ ă ⋹ a ɟ ă

den wir später als speziellen Fall (für b = ă) eines allgemeineren Satzes
— 21) des § 18 — erkennen werden, und einstweilen durch die Koeffizienten-
evidenz mittelst des Hinweises darauf beweisen mögen, dass die Glieder
von L_{i j} = Σ_ha_{i h}a_{j h} sich unter denen von R_{i j} = Σ_{h k l}a_{i h}a_{k h}a_{k l}a_{j l} bei k = i,
l = h sämtlich vorfinden.

Nach diesen Zwischenbetrachtungen kehren wir zur Iteration der
Funktionen und damit zu unserm Theorem 1) zurück.

Es gibt Fälle, wo „die rfache (r^te) Iteration einer Funktion f(u)“,
nämlich f^r(u) für lim r = ∞ konvergirt, und zwar „allgemein“ für jedes
Argument u.

Dies vermag schon ein Beispiel aus dem identischen Kalkul zu er-
härten, wie etwa die Annahme
f(u) = au + b, wofür f²(u) = a(au + b) + b = au + b,
also f²(u) = f(u), und folglich auch
f³(u) = f{f²(u)} = f{f(u)} = f²(u) = f(u),
allgemein: f^r(u) = f(u) und somit f^∞(u) = f(u) wird.

Eine Funktion f von der Eigenschaft, dass allgemein, für jedes
Argument, schon ihre zweite Iteration der ersten (oder der Funktion
selber) gleich ist, mag „invariant“ genannt werden. Alle Iterationen
einer solchen Funktion, von der nullten ab, sind dann, wie leicht zu
sehn, ihr selber gleich: jede invariante Funktion bleibt beim Iteriren un-
geändert, und auch die unbegrenzt oft iterirte Funktion ist dann keine
andre als sie selber.

u selbst ist ebenfalls eine invariante Funktion von u.

Im Allgemeinen aber, bei einer irgendwie gegebnen Funktion f(u),
muss man darauf gefasst sein, dass die r^te Iteration derselben mit
wachsendem r divergire.

Auch dieses vermag bereits der identische Kalkul zu erhärten.
Die allgemeinste Funktion von u welche mit den Spezies dieser Diszplin
gebildet werden kann ist bekanntlich:
f(u) = au + bū. Dafür wird f{f(u)} = a(au + bū) + b(āu + b̄ū)
also f²(u) = (a + b)u + abū = (a + b)u + ab.