Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Fünfte Vorlesung.

was in der That besagt: für jedes u muss, wenn der Wert von f(u)
mit x bezeichnet wird, F(x) = 0 sein.

Wird in 6) für x durchweg der Name f(u) gebraucht, den die Vor-
aussetzung, Hypothesis, der Bedingungssatz der in [ ] stehenden Aussagen-
subsumtion dafür einführt, so erfüllt sich jene als eine Identität, erhält
mithin den Aussagenwert {f(u) = f(u)} = 1. Nach dem „spezifischen Prinzip“
des Aussagenkalkuls (1 ⋹ A) = A, wie wir es in Bd. 2 genannt haben,
wird damit die Behauptung, Thesis, der Folgesatz ebendieser Aussagen-
subsumtion zu einer schlechthin gültigen, d. h. die Formel 6) zieht sich
zusammen in:
7) [Formel 1] ,
was nichts andres ist als die ausdrucksvoller geschriebene Formel 3) —
diese nämlich in Verbindung mit dem ihr oben beigefügten verbalen Zu-
satze zum Ausdruck gebracht.

Umgekehrt folgt aus 7), indem man für f(u) den Namen x einführt,
auch wiederum 6), sodass diese beiden Aussagen 6) und 7) [d. h. auch 5)
als allgemeingültige Formel verstanden] als äquivalent und äquipollent zu
erachten sind.

Weil nun aber in 6) das Prädikat der Aussagensubsumtion in
der eckigen Klammer [] unabhängig von, konstant in Hinsicht der
Produktationsvariabeln u ist, so lässt sich nach bekanntem Satze [näm-
lich gemäss Th. 3₊) des Bd. 1] diese 6) äquipollent umschreiben in:
8) [Formel 2] .

Ist diese Forderung allein erfüllt, ohne die sogleich zu erwähnende
folgende, so werden wir sagen: x = f(u) stelle eine „partikulare“ Lösung
der Gleichung F(x) = 0 vor, auch dann, wenn diese Lösung noch von
grosser Allgemeinheit ist und vielleicht unendlich viel verschiedene Wur-
zeln liefert.

Zweitens aber muss unser Ausdruck f(u) auch imstande sein, jede
Wurzel x unsrer Gleichung 1) zu liefern, d. h. wenn x irgendwie ein
gegebenes Relativ vorstellt, derart jedoch, dass es die Gleichung F(x) = 0
erfüllt, so muss es auch ein Relativ u geben, für welches unser f(u)
gerade gleich diesem x wird.

Diese Forderung drückt regelrecht der Ansatz aus:
9) [Formel 3] .

Den Nachweis bei einer bestimmten Funktion f(u), dass sie diese
Forderung 9) erfülle, nennen wir „die Probe 2“ dafür, dass dieses f(u)
die allgemeine Lösung der Gleichung 1) vorstelle.

Die beiden Forderungen 8) und 9) besagend, dass der Ausdruck
f(u) nur Wurzeln aber auch jede Wurzel der Gleichung 1) „liefere“