Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 12. Allgemeine Form der allgemeinen Lösung.

Werte von u, wird in allen diesen Fällen die nämliche sein, sich nämlich
decken mit der Klasse aller, dem Inbegriff sämtlicher Wurzeln x, welehe
die Gleichung 1) zulässt.

Ich behaupte zweitens: dass jede allgemeine Lösung f(u) der Glei-
chung 1) ausreichend charakterisirt ist durch die Aussagenäquivalenz:
3) [Formel 1] ,
worin die Summe rechts sich zu erstrecken hat über alle erdenklichen
Relative u innerhalb 1².

Und drittens behaupte ich: dass man einer Funktion f, welche
gemäss 3) [und zum Überfluss auch 2)] „eine allgemeine Lösung“ — d. h.
ausschliesslich sämtliche Wurzeln — der Gleichung 1) darzustellen fähig
und bestimmt ist, auch noch gewisse andre Anforderungen auferlegen
kann, die ich als „adventive“ bezeichnen werde, weil sie keineswegs
schon im Begriffe der allgemeinen Lösung liegen. Namentlich aber:
dass man theoretisch sowol als praktisch die allgemeine Lösung f stets in
einer solchen Form aufstellen könne, dass sie die nachstehende „(erste)
Adventivforderung“ erfüllt:
4) {F(x) = 0} = {f(x) = x},
die sich in praktischer Hinsicht vorzugsweise empfiehlt, ja als eine
eminent zweckmässige aufdrängt.

Die Begründung dieser Behauptungen wollen wir damit beginnen
zu zeigen, dass die Äquivalenz 3) den Begriff von f(u) als der allge-
meinen Wurzel der Gleichung 1) ausdrückt.

Soll ein Ausdruck 2) diese allgemeine Wurzel darstellen, so muss
er in der That zwei Eigenschaften besitzen.

Erstens muss er für jeden Wert von u eine richtige Wurzel x
unsrer Gleichung F(x) = 0 liefern, sodass also identisch:
5) F{f(u)} = 0
ist, m. a. W. diese Gleichung für ein beliebig gelassenes Relativ u als
eine allgemeine Formel gilt. Das heisst auch: unser Ausdruck 2) darf
nur Wurzeln unsrer Gleichung 1) liefern.

Den Nachweis, dass solches bei einer bestimmten Funktion f(u)
zutrifft, nennen wir „die Probe 1“ dafür, dass ebendiese Funktion die
allgemeine Lösung der Gleichung 1) darstelle.

Vollständiger als durch 5) wird diese Forderung regelrecht durch
den Ansatz auszudrücken sein
6) [Formel 2] ,

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