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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 11. Jedes Auflösungs- mit einem Eliminationsproblem verquickt.
bekannten x natürlich blos vornehmen können für solche Fälle, wo die
Gleichung auflösbar ist, wo es Werte von x geben kann, die ihr ge-
nügen, so muss ihrer Auflösung nach x diesmal voraufgehen: die Er-
mittelung und die Erfüllung ihrer (vollen) Resultante (der Elimination
von x).

Jene ist als ein Eliminationsproblem zu bezeichnen.

Diese, die Aufgabe erst einmal unsre Resultante zu erfüllen, stellt
sich wiederum als ein Auflösungsproblem dar, bei welchem es sich
aber um (allermindestens) eine Unbekannte (x) weniger handelt. Es hat
sich unser ursprüngliches Auflösungsproblem verschoben und ist an
seine Stelle zunächst ein einfacheres getreten. Für letzteres treten die-
selben Grundsätze in Kraft, die wir für das ursprüngliche Problem
aufgestellt haben und noch aufstellen werden.

Man wird der Resultante etwa durch geeignete Bestimmung irgend
einer von den noch in ihr verbliebenen (bei der Elimination des x aus
f = 0 nicht mit x zugleich herausgefallenen) Unbekannten zu genügen
suchen, indem man strebt, sie als Funktion der andern darzustellen. Dabei
kann sich jedoch abermals eine Resultante ihrer Elimination ergeben, welche
dann erst ebenso weiter zu behandeln sein wird. Etc.

Das Ergebniss, zu welchem wir in dem betrachteten zweiten
Unterfalle gelangt sind, lässt sich nun folgendermassen formuliren und
zugleich auch auf den ersten Unterfall sowie auf die beiden vorher
betrachteten Grenzfälle mitausdehnen, mithin als ein ganz allgemein
zutreffendes hinstellen:

In der Algebra der Relative ist (gleichwie schon im identischen
Kalkul) jedes Auflösungsproblem untrennbar verbunden mit einem Eli-
minationsprobleme; die Auflösung einer Gleichung nach einer (oder auch
einem System von) Unbekannten kann vernünftigerweise nicht in An-
griff genommen werden bevor die volle Resultante der Elimination
ebendieser Unbekannten ermittelt und ihrerseits nach allen übrigen
(resp. den noch in ihr vorkommenden) Unbekannten aufgelöst ist; sie
erheischt zunächst den Vollzug jener Elimination als eine vorgängige
oder präliminare Aufgabe.

Unter diese letztere subsumiren sich in der That auch unsre Ergeb-
nisse bei den übrigen Fällen, insofern der Nachweis für das Fehlen
einer Resultante sich auch hinstellen liess und von uns hingestellt
wurde als die Herleitung einer Resultante 0 = 0 (d. h. die Erbringung
des Beweises, dass "die Resultante" blos auf 0 = 0 hinausläuft), und
ferner der Nachweis für die Unmöglichkeit der Auflösung, oder die
Absurdität der Gleichung f = 0, auch angesehen werden mochte als
ein Nachweis, dass die Resultante auf 1 = 0 hinausläuft.


§ 11. Jedes Auflösungs- mit einem Eliminationsproblem verquickt.
bekannten x natürlich blos vornehmen können für solche Fälle, wo die
Gleichung auflösbar ist, wo es Werte von x geben kann, die ihr ge-
nügen, so muss ihrer Auflösung nach x diesmal voraufgehen: die Er-
mittelung und die Erfüllung ihrer (vollen) Resultante (der Elimination
von x).

Jene ist als ein Eliminationsproblem zu bezeichnen.

Diese, die Aufgabe erst einmal unsre Resultante zu erfüllen, stellt
sich wiederum als ein Auflösungsproblem dar, bei welchem es sich
aber um (allermindestens) eine Unbekannte (x) weniger handelt. Es hat
sich unser ursprüngliches Auflösungsproblem verschoben und ist an
seine Stelle zunächst ein einfacheres getreten. Für letzteres treten die-
selben Grundsätze in Kraft, die wir für das ursprüngliche Problem
aufgestellt haben und noch aufstellen werden.

Man wird der Resultante etwa durch geeignete Bestimmung irgend
einer von den noch in ihr verbliebenen (bei der Elimination des x aus
f = 0 nicht mit x zugleich herausgefallenen) Unbekannten zu genügen
suchen, indem man strebt, sie als Funktion der andern darzustellen. Dabei
kann sich jedoch abermals eine Resultante ihrer Elimination ergeben, welche
dann erst ebenso weiter zu behandeln sein wird. Etc.

Das Ergebniss, zu welchem wir in dem betrachteten zweiten
Unterfalle gelangt sind, lässt sich nun folgendermassen formuliren und
zugleich auch auf den ersten Unterfall sowie auf die beiden vorher
betrachteten Grenzfälle mitausdehnen, mithin als ein ganz allgemein
zutreffendes hinstellen:

In der Algebra der Relative ist (gleichwie schon im identischen
Kalkul) jedes Auflösungsproblem untrennbar verbunden mit einem Eli-
minationsprobleme; die Auflösung einer Gleichung nach einer (oder auch
einem System von) Unbekannten kann vernünftigerweise nicht in An-
griff genommen werden bevor die volle Resultante der Elimination
ebendieser Unbekannten ermittelt und ihrerseits nach allen übrigen
(resp. den noch in ihr vorkommenden) Unbekannten aufgelöst ist; sie
erheischt zunächst den Vollzug jener Elimination als eine vorgängige
oder präliminare Aufgabe.

Unter diese letztere subsumiren sich in der That auch unsre Ergeb-
nisse bei den übrigen Fällen, insofern der Nachweis für das Fehlen
einer Resultante sich auch hinstellen liess und von uns hingestellt
wurde als die Herleitung einer Resultante 0 = 0 (d. h. die Erbringung
des Beweises, dass „die Resultante“ blos auf 0 = 0 hinausläuft), und
ferner der Nachweis für die Unmöglichkeit der Auflösung, oder die
Absurdität der Gleichung f = 0, auch angesehen werden mochte als
ein Nachweis, dass die Resultante auf 1 = 0 hinausläuft.


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[159/0173] § 11. Jedes Auflösungs- mit einem Eliminationsproblem verquickt. bekannten x natürlich blos vornehmen können für solche Fälle, wo die Gleichung auflösbar ist, wo es Werte von x geben kann, die ihr ge- nügen, so muss ihrer Auflösung nach x diesmal voraufgehen: die Er- mittelung und die Erfüllung ihrer (vollen) Resultante (der Elimination von x). Jene ist als ein Eliminationsproblem zu bezeichnen. Diese, die Aufgabe erst einmal unsre Resultante zu erfüllen, stellt sich wiederum als ein Auflösungsproblem dar, bei welchem es sich aber um (allermindestens) eine Unbekannte (x) weniger handelt. Es hat sich unser ursprüngliches Auflösungsproblem verschoben und ist an seine Stelle zunächst ein einfacheres getreten. Für letzteres treten die- selben Grundsätze in Kraft, die wir für das ursprüngliche Problem aufgestellt haben und noch aufstellen werden. Man wird der Resultante etwa durch geeignete Bestimmung irgend einer von den noch in ihr verbliebenen (bei der Elimination des x aus f = 0 nicht mit x zugleich herausgefallenen) Unbekannten zu genügen suchen, indem man strebt, sie als Funktion der andern darzustellen. Dabei kann sich jedoch abermals eine Resultante ihrer Elimination ergeben, welche dann erst ebenso weiter zu behandeln sein wird. Etc. Das Ergebniss, zu welchem wir in dem betrachteten zweiten Unterfalle gelangt sind, lässt sich nun folgendermassen formuliren und zugleich auch auf den ersten Unterfall sowie auf die beiden vorher betrachteten Grenzfälle mitausdehnen, mithin als ein ganz allgemein zutreffendes hinstellen: In der Algebra der Relative ist (gleichwie schon im identischen Kalkul) jedes Auflösungsproblem untrennbar verbunden mit einem Eli- minationsprobleme; die Auflösung einer Gleichung nach einer (oder auch einem System von) Unbekannten kann vernünftigerweise nicht in An- griff genommen werden bevor die volle Resultante der Elimination ebendieser Unbekannten ermittelt und ihrerseits nach allen übrigen (resp. den noch in ihr vorkommenden) Unbekannten aufgelöst ist; sie erheischt zunächst den Vollzug jener Elimination als eine vorgängige oder präliminare Aufgabe. Unter diese letztere subsumiren sich in der That auch unsre Ergeb- nisse bei den übrigen Fällen, insofern der Nachweis für das Fehlen einer Resultante sich auch hinstellen liess und von uns hingestellt wurde als die Herleitung einer Resultante 0 = 0 (d. h. die Erbringung des Beweises, dass „die Resultante“ blos auf 0 = 0 hinausläuft), und ferner der Nachweis für die Unmöglichkeit der Auflösung, oder die Absurdität der Gleichung f = 0, auch angesehen werden mochte als ein Nachweis, dass die Resultante auf 1 = 0 hinausläuft.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 159. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/173>, abgerufen am 27.04.2024.