verwandelt die Operation 1 ; a die Kolonne in welcher gedachtes Auge sich befindet, in eine Vollkolonne; dadurch sind im Relative 1 ; a sämtliche Zeilen zu besetzten Zeilen geworden, indem eine jede von ihnen mindestens in der vorerwähnten Kolonne ein Auge aufweist. Die Operation (1 ; a) ; 1 verwandelt nunmehr die besetzten Zeilen des Relativs 1 ; a -- mithin sämt- liche Zeilen -- in Vollzeilen, wodurch notwendig 1 herauskommt.
Den Rest überlassen wir dem Leser.
Die 6 ausgezeichneten Modulknüpfungen von an erscheinen in 5) und 6) bereits untergebracht.
Da die Operation der Negation, auf die Werte 1 und 0 angewendet, nur ebendiese vertauscht, die Konversion sie ungeändert lässt, so muss auch Negat und Konverses von einem ausgezeichneten Relative wiederum ein ausgezeichnetes Relativ sein -- und zwar ist gemäss 13) des § 8: 8) r = r.
In der That folgt aus 7) noch weiter hinzu: (rn = 0) = (rn 1), (rn = 1) = (rn 0) (r = 1) = (r 0), (r = 0) = (r 1).
Durch die genannten beiden Operationen gewinnt man die aus- gezeichneten Modulknüpfungen der Verwandten von a hinzu. Diese können aber in ihrer Gesamtheit nur mit denen von a selber zusammen- fallen -- wie wir bezüglich des an bereits gesehen haben. Bezüglich des a statuiren es die Formeln: 9)
1 ; a ; 1 = 1 ; a ; 1
0 j a j 0 = 0 j a j 0
10)
[Formel 1]
die sich mit Rücksicht auf 8) leicht aus 21) des § 9 ergeben.
Für später ist auch noch diese Bemerkung von Nutzen. Für a = 0 nehmen alle sechs ausgezeichneten Relative 1), 2) nach dem Abacus den Wert 0, für a = 1 nehmen sie den Wert 1 an. Ersetzt man also in irgend einem der 6 Relative 1), 2) das a durch ein ausgezeich- netes Relativ, z. B. durch eines von diesen 6 Relativen selber, so erhält man unfehlbar dieses wieder, oder: Jedes der sechs ausgezeichneten Rela- tive, genommen von einem ausgezeichneten Relative, erzeugt nur das letz- tere wieder, lässt ebendieses unverändert. Z. B. es reduzirt sich: 1 ; 1 ; a ; 1 ; 1 = 1 ; a ; 1, 0 j 0 j a j 0 j 0 = 0 j a j 0, 0 j 1 ; a ; 1 j 0 = 1 ; a ; 1, 1 ; (0 j a j 0) ; 1 = 0 j a j 0, 0 j 1 ; (0 j a j 0) = 0 j a j 0, 0 j (1 ; a j 0) ; 1 = 1 ; a j 0, etc.
Es liegt die Frage nahe, ob alle "ausgezeichneten" Relative aus Modul- knüpfungen von der Form eines der sechs Peirce'schen sein müssen? Obwol
Vierte Vorlesung.
verwandelt die Operation 1 ; a die Kolonne in welcher gedachtes Auge sich befindet, in eine Vollkolonne; dadurch sind im Relative 1 ; a sämtliche Zeilen zu besetzten Zeilen geworden, indem eine jede von ihnen mindestens in der vorerwähnten Kolonne ein Auge aufweist. Die Operation (1 ; a) ; 1 verwandelt nunmehr die besetzten Zeilen des Relativs 1 ; a — mithin sämt- liche Zeilen — in Vollzeilen, wodurch notwendig 1 herauskommt.
Den Rest überlassen wir dem Leser.
Die 6 ausgezeichneten Modulknüpfungen von ā erscheinen in 5) und 6) bereits untergebracht.
Da die Operation der Negation, auf die Werte 1 und 0 angewendet, nur ebendiese vertauscht, die Konversion sie ungeändert lässt, so muss auch Negat und Konverses von einem ausgezeichneten Relative wiederum ein ausgezeichnetes Relativ sein — und zwar ist gemäss 13) des § 8: 8) r = r̆.
In der That folgt aus 7) noch weiter hinzu: (r̄ = 0) = (r̄ ≠ 1), (r̄ = 1) = (r̄ ≠ 0) (r̆ = 1) = (r̆ ≠ 0), (r̆ = 0) = (r̆ ≠ 1).
Durch die genannten beiden Operationen gewinnt man die aus- gezeichneten Modulknüpfungen der Verwandten von a hinzu. Diese können aber in ihrer Gesamtheit nur mit denen von a selber zusammen- fallen — wie wir bezüglich des ā bereits gesehen haben. Bezüglich des ă statuiren es die Formeln: 9)
1 ; a ; 1 = 1 ; ă ; 1
0 ɟ ă ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0
10)
[Formel 1]
die sich mit Rücksicht auf 8) leicht aus 21) des § 9 ergeben.
Für später ist auch noch diese Bemerkung von Nutzen. Für a = 0 nehmen alle sechs ausgezeichneten Relative 1), 2) nach dem Abacus den Wert 0, für a = 1 nehmen sie den Wert 1 an. Ersetzt man also in irgend einem der 6 Relative 1), 2) das a durch ein ausgezeich- netes Relativ, z. B. durch eines von diesen 6 Relativen selber, so erhält man unfehlbar dieses wieder, oder: Jedes der sechs ausgezeichneten Rela- tive, genommen von einem ausgezeichneten Relative, erzeugt nur das letz- tere wieder, lässt ebendieses unverändert. Z. B. es reduzirt sich: 1 ; 1 ; a ; 1 ; 1 = 1 ; a ; 1, 0 ɟ 0 ɟ a ɟ 0 ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0, 0 ɟ 1 ; a ; 1 ɟ 0 = 1 ; a ; 1, 1 ; (0 ɟ a ɟ 0) ; 1 = 0 ɟ a ɟ 0, 0 ɟ 1 ; (0 ɟ a ɟ 0) = 0 ɟ a ɟ 0, 0 ɟ (1 ; a ɟ 0) ; 1 = 1 ; a ɟ 0, etc.
Es liegt die Frage nahe, ob alle „ausgezeichneten“ Relative aus Modul- knüpfungen von der Form eines der sechs Peirce’schen sein müssen? Obwol
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[148/0162]
Vierte Vorlesung.
verwandelt die Operation 1 ; a die Kolonne in welcher gedachtes Auge sich
befindet, in eine Vollkolonne; dadurch sind im Relative 1 ; a sämtliche
Zeilen zu besetzten Zeilen geworden, indem eine jede von ihnen mindestens
in der vorerwähnten Kolonne ein Auge aufweist. Die Operation (1 ; a) ; 1
verwandelt nunmehr die besetzten Zeilen des Relativs 1 ; a — mithin sämt-
liche Zeilen — in Vollzeilen, wodurch notwendig 1 herauskommt.
Den Rest überlassen wir dem Leser.
Die 6 ausgezeichneten Modulknüpfungen von ā erscheinen in 5)
und 6) bereits untergebracht.
Da die Operation der Negation, auf die Werte 1 und 0 angewendet,
nur ebendiese vertauscht, die Konversion sie ungeändert lässt, so muss
auch Negat und Konverses von einem ausgezeichneten Relative wiederum
ein ausgezeichnetes Relativ sein — und zwar ist gemäss 13) des § 8:
8) r = r̆.
In der That folgt aus 7) noch weiter hinzu:
(r̄ = 0) = (r̄ ≠ 1), (r̄ = 1) = (r̄ ≠ 0)
(r̆ = 1) = (r̆ ≠ 0), (r̆ = 0) = (r̆ ≠ 1).
Durch die genannten beiden Operationen gewinnt man die aus-
gezeichneten Modulknüpfungen der Verwandten von a hinzu. Diese
können aber in ihrer Gesamtheit nur mit denen von a selber zusammen-
fallen — wie wir bezüglich des ā bereits gesehen haben. Bezüglich
des ă statuiren es die Formeln:
9) 1 ; a ; 1 = 1 ; ă ; 1 0 ɟ ă ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0
10) [FORMEL]
die sich mit Rücksicht auf 8) leicht aus 21) des § 9 ergeben.
Für später ist auch noch diese Bemerkung von Nutzen. Für a = 0
nehmen alle sechs ausgezeichneten Relative 1), 2) nach dem Abacus
den Wert 0, für a = 1 nehmen sie den Wert 1 an. Ersetzt man
also in irgend einem der 6 Relative 1), 2) das a durch ein ausgezeich-
netes Relativ, z. B. durch eines von diesen 6 Relativen selber, so erhält
man unfehlbar dieses wieder, oder: Jedes der sechs ausgezeichneten Rela-
tive, genommen von einem ausgezeichneten Relative, erzeugt nur das letz-
tere wieder, lässt ebendieses unverändert. Z. B. es reduzirt sich:
1 ; 1 ; a ; 1 ; 1 = 1 ; a ; 1, 0 ɟ 0 ɟ a ɟ 0 ɟ 0 = 0 ɟ a ɟ 0,
0 ɟ 1 ; a ; 1 ɟ 0 = 1 ; a ; 1, 1 ; (0 ɟ a ɟ 0) ; 1 = 0 ɟ a ɟ 0,
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Es liegt die Frage nahe, ob alle „ausgezeichneten“ Relative aus Modul-
knüpfungen von der Form eines der sechs Peirce’schen sein müssen? Obwol
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 148. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/162>, abgerufen am 28.04.2024.
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