Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Vierte Vorlesung.

die erste und für die letzte (vierte) Angabe durchsprechen — folgendes
zu bedenken.

Es war
(a ; 0')_{i j} = a_{i A} + a_{i B} + a_{i C} + … (ohne a_{i j}).

Für ein bestimmtes i, d. h. in einer bestimmten Zeile, ist dies
gleich 1 bei jedem j, sobald mindestens zwei von den a_{i h} gleich 1 sind.
Denn ist dann auch a_{i j} vielleicht eines von diesen beiden, so wird
wenigstens noch das andre als Glied der Summe rechts (ausserhalb
und vor der letzten Klammer) auftreten.

a ; 0' muss also eine Vollzeile haben überall da, wo a eine mehr-
besetzte Zeile hat.

Ist dagegen die i^te Zeile von a eine einbesetzte, gibt es also gerade
ein j(= k), für welches a_{i j} gleich 1 wird, sodass wir haben a_{i k} = 1,
während alle übrigen a_{i h} gleich 0 sind, so wird unsre Summe den
Term a_{i k} der 1 ist aufweisen, somit selbst = 1 sein, für jedes von k
verschiedene j. Und nur für j = k, wo das in der Klammer erwähnte,
in der Summe fehlende a_{i j} das einzige nicht verschwindende a_{i h} ist,
werden alle Glieder unsrer Summe und diese selbst = 0 sein.

Der einbesetzten Zeile von a entspricht hienach eine Einlückzeile
des a ; 0', welche erhalten wird, indem man das einzige Auge der Zeile
von a in eine Leerstelle, alle Leerstellen dieser Zeile aber in Augen
verwandelt.

Ist die mit i markirte Zeile von a eine Leerzeile, so sind alle a_{i h}
gleich 0, und — einerlei welches von diesen in unsrer Summe fehlt —
wird die Summe stets = 0 sein; dann hat also auch a ; 0' eine Leerzeile.

Ähnlich war
(1' ɟ a)_{i j} = a_{A j}a_{B j}a_{C j} … (ohne a_{i j}).

Dies Produkt ist bei bestimmtem j gleich 0 für jedes i, sobald min-
destens zweie der a_{h j} gleich 0 sind, d. h. also: wenn a eine Mehrlück-
kolonne bei j aufweist, erhält 1' ɟ a eine Leerkolonne.

Das Produkt ist gleich 1 bei jedem i, falls alle a_{h j} gleich 1 sind, d. h.
also: wenn die j^te Kolonne von a eine Vollkolonne war, erhält auch 1' ɟ a
eine solche.

Blos wenn a bei j eine Einlückkolonne besitzt, mithin blos ein be-
stimmtes (es heisse a_{k j}) von allen a_{h j} verschwindet, während alle übrigen
a_{h j} gleich 1 sind, kommt es darauf an, ob jenes allein verschwindende a_{k j}
eben das als Faktor in unserm Produkte einzig fehlende a_{i j} ist oder nicht.
Im letztern Falle ist das Produkt = 1, in allen andern Fällen = 0. D. h.
der Einlückkolonne von a entspricht bei 1' ɟ a eine einbesetzte Kolonne, die
gerade nur an der Stelle der einen Lücke von jener ein Auge trägt, sonst
völlig leer ist, und die wir daher als die Negation jener Einlückkolonne
am bequemsten charakterisiren. —