Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Vierte Vorlesung.

Das System der Formeln 13) bis 19) nennen wir den
„Abacus“ der binären Relative.
Derselbe erscheint zugleich als eine Erweiterung, die Vervollständigung,
des schon in § 3 für die Koeffizientenwerte 1 und 0 aufgestellten
„Abacus“.

An Beweisen ist für die Sätze des Abacus nur mehr ganz weniges
beizubringen.

Zu 13) hat man blos zu bemerken, dass wegen der allgemein für jedes
Suffix ij getroffenen Festsetzungen (6) und (7) des § 3 — S. 25 — auch
gelten muss 1_{j i} = 1 = 1_{i j}, 0_{j i} = 0 = 0_{i j},
1'_{j i} = (j = i) = (i = j) = 1'_{i j}, 0'_{j i} = (j ≠ i) = (i ≠ j) = 0'_{i j},
wonach denn in der That die Konverse der Moduln diese selbst sind.

Dass die Negation des einen relativen Moduls der andre ist, wird
aus (7) unmittelbar ersichtlich, und haben wir auch zur zweiten Zeile
von 17):

0'_i j1'_i j = (i ≠ j)(i = j) = 0 = 0_i j

1'_i j + 0'_i j = (i = j) + (i ≠ j) = 1 = 1_i j.

Die zweite Zeile von 18) beweist sich mit:
(1 ; 0')_{i j} = Σ_h1_{i h}0'_{h j} = Σ_h0'_{h j} = 1, (1' ; 1)_{i j} = Σ_h1'_{i h}1_{h j} = Σ_h1'_{i h} = 1'_{i i} = 1
— also = 1_{i j} — wo zu ersterm zu bemerken ist, dass, weil der Denk-
bereich 1¹ mindestens zwei Elemente enthält, in der Σ_h der Zeiger h auch
mindestens einen von j verschiedenen Wert durchlaufen wird, für welchen
somit 0'_{h j} = 1 sein muss.

Endlich haben wir behufs Beweises der ersten Zeile von 19) den Ansatz:

(0' ; 0')_i j = Σ_h0'_i h0'_h j = 1 = 1_i j

(1' ɟ 1')_i j = Π_h(1'_i h + 1'_h j) = 0 = 0_i j

zu dessen Rechtfertigung bemerkt werden muss:

(Links). Ist i ≠ j und gibt es ein von i und j verschiedenes h, so
wird für jedes solche 0'_{i h}0'_{h j} = 1 · 1 = 1 sein. Diese Voraussetzung trifft
aber nur dann sicher zu, wenn der Denkbereich 1¹ mindestens drei Ele-
mente enthält. Bei i = j würde schon die Annahme h ≠ i genügen um den
Term 0'_{i h}0'_{h i} = 1 werden zu lassen.

Ebenso (rechts) wird bei der gleichen Annahme mindestens ein Faktor
1'_{i h} + 1'_{h j} des Produktes = 0 und verschwindet auch dieses.

Unter jener Voraussetzung, auf welche der Stern hinweisen soll, haben
wir also — mag i gleich oder ungleich j sein — für beide Fälle
(0' ; 0')_{i j} = 1, etc. und sind die obersten Formeln 19) bewiesen.

Enthält dagegen der Denkbereich 1¹ blos zwei Elemente, so ist zwar
noch — wie vorhin bemerkt — (0' ; 0')_{i i} = 1, dagegen für i ≠ j (0' ; 0')_{i j} = 0,
weil in 0'_{i h}0'_{h j} der Zeiger h nur die beiden Werte i und j durchlaufen kann,
für deren jeden einer der beiden Faktoren verschwindet. Hier wird dann
(0' ; 0')_{i j} = 1'_{i j}. Mithin gälte:
0' ; 0' = 1', 1' ɟ 1' = 0'
beim Denkbereich aus gerade zwei Elementen.