Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls. vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte.(Peirce8 p. 197.) Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen. Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen: Derselbe mit @ statt würde auch für positive Zahlen bezüglich Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung, Hier gelten die Sätze: Schröder, Algebra der Relative. 8
§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls. vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte.(Peirce8 p. 197.) Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen. Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen: Derselbe mit  statt ⋹ würde auch für positive Zahlen bezüglich Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung, Hier gelten die Sätze: Schröder, Algebra der Relative. 8
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Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.</fw><lb/> vertauscht, nachdem man den Namen <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> durch den <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> ersetzt hatte.<lb/> (<hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">8</hi> p. 197.)</p><lb/> <p>Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu <hi rendition="#g">beweisen</hi>.<lb/> (Dieselbe gilt schon im identischen Kalkul, was auch immer für<lb/><hi rendition="#i">Klassen</hi> die Symbole <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> vorstellen mögen.)</p><lb/> <p>Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich<lb/> dieselbe dar als:<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">11</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">12</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">13</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">14</hi> ‥ + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">21</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">22</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">23</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">24</hi> ‥ + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">31</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">32</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">33</hi><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">34</hi> ‥ + … ⋹<lb/> ⋹ (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">11</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">21</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">31</hi> ‥) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">12</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">22</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">32</hi> ‥) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">13</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">23</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">33</hi> ‥)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">14</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">24</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">34</hi> ‥) …<lb/> und versteht sich nach Th. 6<hi rendition="#sub">+</hi>) des Bd. 1 daraus von selbst: weil die<lb/> Glieder des Subjektes links <hi rendition="#i">sämtlich</hi> unter denen der ausmultiplizirten<lb/> Summen rechterhand im Prädikate vorkommen werden, und zwar als<lb/> die Partialprodukte <hi rendition="#i">aus deren gleichstelligen</hi> Gliedern — allerdings aber<lb/> neben noch sehr viel anderweiten Gliedern, weshalb im Allgemeinen<lb/> Unterordnung und nicht Gleichheit stattfinden wird.</p><lb/> <p>Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">aa</hi>'<hi rendition="#i">a</hi>'' ‥ + <hi rendition="#i">bb</hi>'<hi rendition="#i">b</hi>'' ‥ + … ⋹ (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + …)(<hi rendition="#i">a</hi>' + <hi rendition="#i">b</hi>' + …)(<hi rendition="#i">a</hi>'' + <hi rendition="#i">b</hi>'' + …) ‥</hi></p><lb/> <p>Derselbe mit  statt ⋹ würde auch für positive Zahlen bezüglich<lb/> arithmetischer Produkte und Summen gelten.</p><lb/> <p>Man merkt sich den Satz am besten durch den <hi rendition="#i">Kontrast</hi>: während für<lb/> sich <hi rendition="#i">Π</hi> ⋹ <hi rendition="#i">Σ</hi> ist, gilt sozusagen verkehrt: <hi rendition="#i">ΣΠ</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ΠΣ</hi>. —</p><lb/> <p>Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung,<lb/> in welchen die Subsumtionen in unserm Satze in <hi rendition="#i">Gleichungen</hi> über-<lb/> gehen, und auf deren einen schon <hi rendition="#g">Peirce</hi> aufmerksam gemacht. 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§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte.
(Peirce8 p. 197.)
Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen.
(Dieselbe gilt schon im identischen Kalkul, was auch immer für
Klassen die Symbole ah k vorstellen mögen.)
Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich
dieselbe dar als:
a11a12a13a14 ‥ + a21a22a23a24 ‥ + a31a32a33a34 ‥ + … ⋹
⋹ (a11 + a21 + a31 ‥) (a12 + a22 + a32 ‥) (a13 + a23 + a33 ‥)(a14 + a24 + a34 ‥) …
und versteht sich nach Th. 6+) des Bd. 1 daraus von selbst: weil die
Glieder des Subjektes links sämtlich unter denen der ausmultiplizirten
Summen rechterhand im Prädikate vorkommen werden, und zwar als
die Partialprodukte aus deren gleichstelligen Gliedern — allerdings aber
neben noch sehr viel anderweiten Gliedern, weshalb im Allgemeinen
Unterordnung und nicht Gleichheit stattfinden wird.
Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen:
aa'a'' ‥ + bb'b'' ‥ + … ⋹ (a + b + …)(a' + b' + …)(a'' + b'' + …) ‥
Derselbe mit  statt ⋹ würde auch für positive Zahlen bezüglich
arithmetischer Produkte und Summen gelten.
Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für
sich Π ⋹ Σ ist, gilt sozusagen verkehrt: ΣΠ ⋹ ΠΣ. —
Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung,
in welchen die Subsumtionen in unserm Satze in Gleichungen über-
gehen, und auf deren einen schon Peirce aufmerksam gemacht. Es
sind das die Fälle, in welchen der allgemeine Term ah k (additiv oder
multiplikativ) zerfällt in zwei Terme, welche die Indizes h und k ein-
zeln — somit getrennt, voneinander isolirt — tragen; die Fälle
ah k = ahbk und ah k = ah + bk.
Hier gelten die Sätze:
3) [FORMEL]
das ist ausführlich hingeschrieben:
a1b1a1b2a1b3 ‥ + a2b1a2b2a2b3 ‥ + … =
= (a1b1 + a2b1 + a3b1 + …)(a1b2 + a2b2 + a3b2 + …) ‥ =
= (a1 + a2 + …)b1b2b3 …,
Schröder, Algebra der Relative. 8
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 113. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/127>, abgerufen am 01.09.2024. |