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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte.
(Peirce8 p. 197.)

Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen.
(Dieselbe gilt schon im identischen Kalkul, was auch immer für
Klassen die Symbole ah k vorstellen mögen.)

Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich
dieselbe dar als:
a11a12a13a14 .. + a21a22a23a24 .. + a31a32a33a34 .. + ...
(a11 + a21 + a31 ..) (a12 + a22 + a32 ..) (a13 + a23 + a33 ..)(a14 + a24 + a34 ..) ...
und versteht sich nach Th. 6+) des Bd. 1 daraus von selbst: weil die
Glieder des Subjektes links sämtlich unter denen der ausmultiplizirten
Summen rechterhand im Prädikate vorkommen werden, und zwar als
die Partialprodukte aus deren gleichstelligen Gliedern -- allerdings aber
neben noch sehr viel anderweiten Gliedern, weshalb im Allgemeinen
Unterordnung und nicht Gleichheit stattfinden wird.

Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen:
aa'a'' .. + bb'b'' .. + ... (a + b + ...)(a' + b' + ...)(a'' + b'' + ...) ..

Derselbe mit @ statt würde auch für positive Zahlen bezüglich
arithmetischer Produkte und Summen gelten.

Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für
sich P S ist, gilt sozusagen verkehrt: SP PS. --

Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung,
in welchen die Subsumtionen in unserm Satze in Gleichungen über-
gehen, und auf deren einen schon Peirce aufmerksam gemacht. Es
sind das die Fälle, in welchen der allgemeine Term ah k (additiv oder
multiplikativ) zerfällt in zwei Terme, welche die Indizes h und k ein-
zeln -- somit getrennt, voneinander isolirt -- tragen; die Fälle
ah k = ahbk und ah k = ah + bk.

Hier gelten die Sätze:
3) [Formel 1]
das ist ausführlich hingeschrieben:
a1b1a1b2a1b3 .. + a2b1a2b2a2b3 .. + ... =
= (a1b1 + a2b1 + a3b1 + ...)(a1b2 + a2b2 + a3b2 + ...) .. =
= (a1 + a2 + ...)b1b2b3 ...,

Schröder, Algebra der Relative. 8

§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte.
(Peirce8 p. 197.)

Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen.
(Dieselbe gilt schon im identischen Kalkul, was auch immer für
Klassen die Symbole ah k vorstellen mögen.)

Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich
dieselbe dar als:
a11a12a13a14 ‥ + a21a22a23a24 ‥ + a31a32a33a34 ‥ + … ⋹
⋹ (a11 + a21 + a31 ‥) (a12 + a22 + a32 ‥) (a13 + a23 + a33 ‥)(a14 + a24 + a34 ‥) …
und versteht sich nach Th. 6+) des Bd. 1 daraus von selbst: weil die
Glieder des Subjektes links sämtlich unter denen der ausmultiplizirten
Summen rechterhand im Prädikate vorkommen werden, und zwar als
die Partialprodukte aus deren gleichstelligen Gliedern — allerdings aber
neben noch sehr viel anderweiten Gliedern, weshalb im Allgemeinen
Unterordnung und nicht Gleichheit stattfinden wird.

Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen:
aa'a'' ‥ + bb'b'' ‥ + … ⋹ (a + b + …)(a' + b' + …)(a'' + b'' + …) ‥

Derselbe mit  statt ⋹ würde auch für positive Zahlen bezüglich
arithmetischer Produkte und Summen gelten.

Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für
sich Π ⋹ Σ ist, gilt sozusagen verkehrt: ΣΠ ⋹ ΠΣ. —

Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung,
in welchen die Subsumtionen in unserm Satze in Gleichungen über-
gehen, und auf deren einen schon Peirce aufmerksam gemacht. Es
sind das die Fälle, in welchen der allgemeine Term ah k (additiv oder
multiplikativ) zerfällt in zwei Terme, welche die Indizes h und k ein-
zeln — somit getrennt, voneinander isolirt — tragen; die Fälle
ah k = ahbk und ah k = ah + bk.

Hier gelten die Sätze:
3) [Formel 1]
das ist ausführlich hingeschrieben:
a1b1a1b2a1b3 ‥ + a2b1a2b2a2b3 ‥ + … =
= (a1b1 + a2b1 + a3b1 + …)(a1b2 + a2b2 + a3b2 + …) ‥ =
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Schröder, Algebra der Relative. 8
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[113/0127] § 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls. vertauscht, nachdem man den Namen ah k durch den ak h ersetzt hatte. (Peirce8 p. 197.) Es genügt demnach, die erste von diesen Formeln zu beweisen. (Dieselbe gilt schon im identischen Kalkul, was auch immer für Klassen die Symbole ah k vorstellen mögen.) Interpretirt man beide Seiten dieser Subsumtion, so stellt sich dieselbe dar als: a11a12a13a14 ‥ + a21a22a23a24 ‥ + a31a32a33a34 ‥ + … ⋹ ⋹ (a11 + a21 + a31 ‥) (a12 + a22 + a32 ‥) (a13 + a23 + a33 ‥)(a14 + a24 + a34 ‥) … und versteht sich nach Th. 6+) des Bd. 1 daraus von selbst: weil die Glieder des Subjektes links sämtlich unter denen der ausmultiplizirten Summen rechterhand im Prädikate vorkommen werden, und zwar als die Partialprodukte aus deren gleichstelligen Gliedern — allerdings aber neben noch sehr viel anderweiten Gliedern, weshalb im Allgemeinen Unterordnung und nicht Gleichheit stattfinden wird. Noch etwas einfacher, vielleicht, kann man den Satz so darstellen: aa'a'' ‥ + bb'b'' ‥ + … ⋹ (a + b + …)(a' + b' + …)(a'' + b'' + …) ‥ Derselbe mit  statt ⋹ würde auch für positive Zahlen bezüglich arithmetischer Produkte und Summen gelten. Man merkt sich den Satz am besten durch den Kontrast: während für sich Π ⋹ Σ ist, gilt sozusagen verkehrt: ΣΠ ⋹ ΠΣ. — Zwei besonders wichtige Fälle verdienen aber noch Hervorhebung, in welchen die Subsumtionen in unserm Satze in Gleichungen über- gehen, und auf deren einen schon Peirce aufmerksam gemacht. Es sind das die Fälle, in welchen der allgemeine Term ah k (additiv oder multiplikativ) zerfällt in zwei Terme, welche die Indizes h und k ein- zeln — somit getrennt, voneinander isolirt — tragen; die Fälle ah k = ahbk und ah k = ah + bk. Hier gelten die Sätze: 3) [FORMEL] das ist ausführlich hingeschrieben: a1b1a1b2a1b3 ‥ + a2b1a2b2a2b3 ‥ + … = = (a1b1 + a2b1 + a3b1 + …)(a1b2 + a2b2 + a3b2 + …) ‥ = = (a1 + a2 + …)b1b2b3 …, Schröder, Algebra der Relative. 8

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 113. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/127>, abgerufen am 26.11.2024.