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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Fünfundzwanzigste Vorlesung

Auch gehört hierher das Auflösungsverfahren (aber nicht das Eli-
minationsverfahren) von Boole selbst noch insofern, als dabei die
durch Rechnen gefundenen Ausdrücke für die Unbekannten zu "ent-
wickeln" sind nach jenen Konstituenten (in Hinsicht wenigstens der
beim Problem gegebenen Klassen).

Als nicht sehr erhebliche Modifikation dieses Verfahrens schliesst
sich neuerdings an: Herrn Macfarlane's9 "logisches Spektrum."

Die Konstituenten werden durch schmale Rechtecke von gleicher Höhe
dargestellt, die sich zu einem horizontalen Band oder Streifen aneinander-
schliessen, so dass ein Schema entsteht, welches von ferne an das Sonnen-
spektrum mit seinen Fraunhofer'schen Linien erinnert. Die linkseitige
Hälfte des Streifens ist z. B. mit a überschrieben, die rechtseitige mit a1;
von jeder dieser Hälften ist wieder die linke Hälfte mit b überschrieben,
die rechte mit b1, und so fort. Ein solches nach den gegebenen Klassen
eingeteiltes Spektrum wird aufgestellt für eine jede der gesuchten Un-
bekannten x, y, ....

Das Feld eines Konstituenten wird weiss gelassen, wenn seine Klasse
durch die Data als ganz enthalten gesetzt ist in der dem Spektralstreifen
zugeordneten unbekannten Klasse, sage z. B. in x; es wird schwarz bedruckt,
wenn der Konstituent ganz von x ausgeschlossen ist, dagegen schraffirt,
falls der Konstituent kraft der Data verschwinden muss; endlich wird das
Feld des Konstituenten nur zur einen (z. B. untern) Hälfte geschwärzt da,
wo die Data es offen, unbestimmt lassen, ob alles, einiges oder nichts von
seiner Klasse zu x gehöre.

Über diese Fragen entscheiden aber die Koeffizienten der Boole'schen
"Entwicklung", und Herrn Macfarlane's Modifikation in des letzteren
Verfahren besteht blos darin, dass er die Wertsysteme 1, 1, ... 0, 0, ...,
welche nach Boole für die gegebenen Klassen jeweils einzusetzen sind in
die nach x, y, ... aufgelösten Gleichungen, statt dessen lieber einsetzt in
die noch nicht aufgelösten, ursprünglichen Prämissengleichungen, -- um
diese dann in jedem einzelnen Falle gesondert nach den Unbekannten
(arithmetisch) aufzulösen, wo sie allerdings nur Einsen oder Nullen zu
Koeffizienten haben werden, und die allgemeine Auflösung umgangen ist.
In seinem Beispiel thut er dies in 64 Fällen!

Sein Gedankengang ist: wenn der Konstituent, dessen Koeffizienten im
Ausdrucke von x wir eben suchen, gleich 1 (d. i. gleich der ganzen Mannig-
faltigkeit) wäre, wo dann alle übrigen Konstituenten verschwinden müssten,
so wäre x gleich diesem Koeffizienten. Der letztere muss also gleich dem
Werte von x sein, der sich unter der genannten Voraussetzung ergibt.

Natürlich kommen bei den Einzelauflösungen verschiedene Fälle vor:
neben dem Wert 0 oder 1 der Unbekannten (und somit auch des gesuchten
Koeffizienten) auch ihre Unbestimmtheit, durch die Gleichung 0 = 0 sich
kundgebend, ihre Unmöglichkeit, durch 0 = 1 charakterisirt, und Werte
wie 1/2, logisch bedeutungslos, -- wobei der betreffende Konstituent für sich
verschwinden muss. --

Der Arbeit gegenüber ist der Wunsch am Platze, es möchten neuere

Fünfundzwanzigste Vorlesung

Auch gehört hierher das Auflösungsverfahren (aber nicht das Eli-
minationsverfahren) von Boole selbst noch insofern, als dabei die
durch Rechnen gefundenen Ausdrücke für die Unbekannten zu „ent-
wickeln“ sind nach jenen Konstituenten (in Hinsicht wenigstens der
beim Problem gegebenen Klassen).

Als nicht sehr erhebliche Modifikation dieses Verfahrens schliesst
sich neuerdings an: Herrn Macfarlane’s9 „logisches Spektrum.“

Die Konstituenten werden durch schmale Rechtecke von gleicher Höhe
dargestellt, die sich zu einem horizontalen Band oder Streifen aneinander-
schliessen, so dass ein Schema entsteht, welches von ferne an das Sonnen-
spektrum mit seinen Fraunhofer’schen Linien erinnert. Die linkseitige
Hälfte des Streifens ist z. B. mit a überschrieben, die rechtseitige mit a1;
von jeder dieser Hälften ist wieder die linke Hälfte mit b überschrieben,
die rechte mit b1, und so fort. Ein solches nach den gegebenen Klassen
eingeteiltes Spektrum wird aufgestellt für eine jede der gesuchten Un-
bekannten x, y, ….

Das Feld eines Konstituenten wird weiss gelassen, wenn seine Klasse
durch die Data als ganz enthalten gesetzt ist in der dem Spektralstreifen
zugeordneten unbekannten Klasse, sage z. B. in x; es wird schwarz bedruckt,
wenn der Konstituent ganz von x ausgeschlossen ist, dagegen schraffirt,
falls der Konstituent kraft der Data verschwinden muss; endlich wird das
Feld des Konstituenten nur zur einen (z. B. untern) Hälfte geschwärzt da,
wo die Data es offen, unbestimmt lassen, ob alles, einiges oder nichts von
seiner Klasse zu x gehöre.

Über diese Fragen entscheiden aber die Koeffizienten der Boole’schen
„Entwicklung“, und Herrn Macfarlane’s Modifikation in des letzteren
Verfahren besteht blos darin, dass er die Wertsysteme 1, 1, … 0, 0, …,
welche nach Boole für die gegebenen Klassen jeweils einzusetzen sind in
die nach x, y, … aufgelösten Gleichungen, statt dessen lieber einsetzt in
die noch nicht aufgelösten, ursprünglichen Prämissengleichungen, — um
diese dann in jedem einzelnen Falle gesondert nach den Unbekannten
(arithmetisch) aufzulösen, wo sie allerdings nur Einsen oder Nullen zu
Koeffizienten haben werden, und die allgemeine Auflösung umgangen ist.
In seinem Beispiel thut er dies in 64 Fällen!

Sein Gedankengang ist: wenn der Konstituent, dessen Koeffizienten im
Ausdrucke von x wir eben suchen, gleich 1 (d. i. gleich der ganzen Mannig-
faltigkeit) wäre, wo dann alle übrigen Konstituenten verschwinden müssten,
so wäre x gleich diesem Koeffizienten. Der letztere muss also gleich dem
Werte von x sein, der sich unter der genannten Voraussetzung ergibt.

Natürlich kommen bei den Einzelauflösungen verschiedene Fälle vor:
neben dem Wert 0 oder 1 der Unbekannten (und somit auch des gesuchten
Koeffizienten) auch ihre Unbestimmtheit, durch die Gleichung 0 = 0 sich
kundgebend, ihre Unmöglichkeit, durch 0 = 1 charakterisirt, und Werte
wie ½, logisch bedeutungslos, — wobei der betreffende Konstituent für sich
verschwinden muss. —

Der Arbeit gegenüber ist der Wunsch am Platze, es möchten neuere

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[440/0084] Fünfundzwanzigste Vorlesung Auch gehört hierher das Auflösungsverfahren (aber nicht das Eli- minationsverfahren) von Boole selbst noch insofern, als dabei die durch Rechnen gefundenen Ausdrücke für die Unbekannten zu „ent- wickeln“ sind nach jenen Konstituenten (in Hinsicht wenigstens der beim Problem gegebenen Klassen). Als nicht sehr erhebliche Modifikation dieses Verfahrens schliesst sich neuerdings an: Herrn Macfarlane’s9 „logisches Spektrum.“ Die Konstituenten werden durch schmale Rechtecke von gleicher Höhe dargestellt, die sich zu einem horizontalen Band oder Streifen aneinander- schliessen, so dass ein Schema entsteht, welches von ferne an das Sonnen- spektrum mit seinen Fraunhofer’schen Linien erinnert. Die linkseitige Hälfte des Streifens ist z. B. mit a überschrieben, die rechtseitige mit a1; von jeder dieser Hälften ist wieder die linke Hälfte mit b überschrieben, die rechte mit b1, und so fort. Ein solches nach den gegebenen Klassen eingeteiltes Spektrum wird aufgestellt für eine jede der gesuchten Un- bekannten x, y, …. Das Feld eines Konstituenten wird weiss gelassen, wenn seine Klasse durch die Data als ganz enthalten gesetzt ist in der dem Spektralstreifen zugeordneten unbekannten Klasse, sage z. B. in x; es wird schwarz bedruckt, wenn der Konstituent ganz von x ausgeschlossen ist, dagegen schraffirt, falls der Konstituent kraft der Data verschwinden muss; endlich wird das Feld des Konstituenten nur zur einen (z. B. untern) Hälfte geschwärzt da, wo die Data es offen, unbestimmt lassen, ob alles, einiges oder nichts von seiner Klasse zu x gehöre. Über diese Fragen entscheiden aber die Koeffizienten der Boole’schen „Entwicklung“, und Herrn Macfarlane’s Modifikation in des letzteren Verfahren besteht blos darin, dass er die Wertsysteme 1, 1, … 0, 0, …, welche nach Boole für die gegebenen Klassen jeweils einzusetzen sind in die nach x, y, … aufgelösten Gleichungen, statt dessen lieber einsetzt in die noch nicht aufgelösten, ursprünglichen Prämissengleichungen, — um diese dann in jedem einzelnen Falle gesondert nach den Unbekannten (arithmetisch) aufzulösen, wo sie allerdings nur Einsen oder Nullen zu Koeffizienten haben werden, und die allgemeine Auflösung umgangen ist. In seinem Beispiel thut er dies in 64 Fällen! Sein Gedankengang ist: wenn der Konstituent, dessen Koeffizienten im Ausdrucke von x wir eben suchen, gleich 1 (d. i. gleich der ganzen Mannig- faltigkeit) wäre, wo dann alle übrigen Konstituenten verschwinden müssten, so wäre x gleich diesem Koeffizienten. Der letztere muss also gleich dem Werte von x sein, der sich unter der genannten Voraussetzung ergibt. Natürlich kommen bei den Einzelauflösungen verschiedene Fälle vor: neben dem Wert 0 oder 1 der Unbekannten (und somit auch des gesuchten Koeffizienten) auch ihre Unbestimmtheit, durch die Gleichung 0 = 0 sich kundgebend, ihre Unmöglichkeit, durch 0 = 1 charakterisirt, und Werte wie ½, logisch bedeutungslos, — wobei der betreffende Konstituent für sich verschwinden muss. — Der Arbeit gegenüber ist der Wunsch am Platze, es möchten neuere

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 440. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/84>, abgerufen am 03.05.2024.