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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Sind a, b, ... m und p, q, ... x irgendwieviel Elemente, so soll in
der Gleichung
(a b ... m · p q ... x) = (a b ... m p1 q1 ... x1 + a1 b1 ... m1 p q ... x = 0)
das Symbol linkerhand uns die Aussage rechts vertreten; und wenn
letztere erfüllt ist, soll gesagt werden, die im ersteren vorkommenden
Elemente bilden ein "flaches System".

Bei einem solchen werden zwei Elemente unter sich vertauschbar
sein, wenn sie beide vor oder beide hinter dem erhöhten Punkt stehen.
Auch können die beiden durch den Punkt getrennten Elementegruppen
ihre Stellung wechseln. Und ferner kann man für alle Elemente
durchweg ihre Negationen setzen; bilden erstere ein flaches System,
so auch letztere.

Die Elemente der einen Gruppe (vor dem Punkt) eines flachen
Systems bilden mit den negirten Elementen der andern (hinter dem
Punkt) ein obverses System
(a b ... m · p q ... x) = (· a b ... m p1 q1 ... x1 ·) = (· a1 b1 ... m1 p q ... x ·).

t) Es entsprechen sich die Identitäten (vergl. o)
(· a b ·) = (a = b1) (a · b) = (a = b), K 89.
während (a · a1) = (· a ·) absurd ist. Dagegen gilt identisch für beliebige
Elemente z und a die lineare Triade z z1 · a, K 30, welche sich zuletzt
auf das obverse Paar · z z1 · reduzirt:
(z z1 · a) = (z z1 a1 + z z1 a = z z1 = 0) = (· z z1 ·) = 1.
Und die unter r) aufgestellte Identität K 82
(· P z ·) (· P z1 ·) = (· P ·) = (· P z ·) (P · z)
lässt sich jetzt dahin erweitern, dass wenn mit P und R zwei Elemente-
zusammenstellungen bezeichnet sind, welche kein gemeinsames Element
besitzen, und mit q ein weiteres weder in P noch in R vorkommendes
Element,
(P · R) = (P q · R) (P · q R),
K 87. (P · R) (P q · R), (P · R) (P · q R).

Einfache Fälle sind:

K 7. (a · c) = (a c1 + a1 c = a b c1 + a1 b1 c + a b1 c1 + a1 b c = 0) =
= (a b · c) (a · b c),
(a b · e) = (a b c · e) (a b · c e) = (a b c d · e) (a b c · d e) (a b d · c e) (a b · c d e),

(a · e) = (a b · e) (a · b e) = (a b c · e) (a b · c e) (a c · b e) (a · b c e) =
= (a b c d · e) (a b c · d e) (a b d · c e) (a b · c d e) (a c d · b e) (a c · b d e) (a d · b c e) (a · b c d e),
= (4 · e) (3 · d e) (3 · c e) (3 · b c) (a b · 3) (a c · 3) (a d · 3) (a · 4),

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Sind a, b, … m und p, q, … x irgendwieviel Elemente, so soll in
der Gleichung
(a b … m · p q … x) = (a b … m p1 q1 … x1 + a1 b1 … m1 p q … x = 0)
das Symbol linkerhand uns die Aussage rechts vertreten; und wenn
letztere erfüllt ist, soll gesagt werden, die im ersteren vorkommenden
Elemente bilden ein „flaches System“.

Die Elemente der einen Gruppe (vor dem Punkt) eines flachen
Systems bilden mit den negirten Elementen der andern (hinter dem
Punkt) ein obverses System
(a b … m · p q … x) = (· a b … m p1 q1 … x1 ·) = (· a1 b1 … m1 p q … x ·).

τ) Es entsprechen sich die Identitäten (vergl. ο)
(· a b ·) = (a = b1) (a · b) = (a = b), K 89.
während (a · a1) = (· a ·) absurd ist. Dagegen gilt identisch für beliebige
Elemente z und a die lineare Triade z z1 · a, K 30, welche sich zuletzt
auf das obverse Paar · z z1 · reduzirt:
(z z1 · a) = (z z1 a1 + z z1 a = z z1 = 0) = (· z z1 ·) = 1̇.
Und die unter ϱ) aufgestellte Identität K 82
(· P z ·) (· P z1 ·) = (· P ·) = (· P z ·) (P · z)
lässt sich jetzt dahin erweitern, dass wenn mit P und R zwei Elemente-
zusammenstellungen bezeichnet sind, welche kein gemeinsames Element
besitzen, und mit q ein weiteres weder in P noch in R vorkommendes
Element,
(P · R) = (P q · R) (P · q R),
K 87. (P · R) (P q · R), (P · R) (P · q R).

Einfache Fälle sind:

K 7. (a · c) = (a c1 + a1 c = a b c1 + a1 b1 c + a b1 c1 + a1 b c = 0) =
= (a b · c) (a · b c),
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[573/0217] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Sind a, b, … m und p, q, … x irgendwieviel Elemente, so soll in der Gleichung (a b … m · p q … x) = (a b … m p1 q1 … x1 + a1 b1 … m1 p q … x = 0) das Symbol linkerhand uns die Aussage rechts vertreten; und wenn letztere erfüllt ist, soll gesagt werden, die im ersteren vorkommenden Elemente bilden ein „flaches System“. Bei einem solchen werden zwei Elemente unter sich vertauschbar sein, wenn sie beide vor oder beide hinter dem erhöhten Punkt stehen. Auch können die beiden durch den Punkt getrennten Elementegruppen ihre Stellung wechseln. Und ferner kann man für alle Elemente durchweg ihre Negationen setzen; bilden erstere ein flaches System, so auch letztere. Die Elemente der einen Gruppe (vor dem Punkt) eines flachen Systems bilden mit den negirten Elementen der andern (hinter dem Punkt) ein obverses System (a b … m · p q … x) = (· a b … m p1 q1 … x1 ·) = (· a1 b1 … m1 p q … x ·). τ) Es entsprechen sich die Identitäten (vergl. ο) (· a b ·) = (a = b1) (a · b) = (a = b), K 89. während (a · a1) = (· a ·) absurd ist. Dagegen gilt identisch für beliebige Elemente z und a die lineare Triade z z1 · a, K 30, welche sich zuletzt auf das obverse Paar · z z1 · reduzirt: (z z1 · a) = (z z1 a1 + z z1 a = z z1 = 0) = (· z z1 ·) = 1̇. Und die unter ϱ) aufgestellte Identität K 82 (· P z ·) (· P z1 ·) = (· P ·) = (· P z ·) (P · z) lässt sich jetzt dahin erweitern, dass wenn mit P und R zwei Elemente- zusammenstellungen bezeichnet sind, welche kein gemeinsames Element besitzen, und mit q ein weiteres weder in P noch in R vorkommendes Element, (P · R) = (P q · R) (P · q R), K 87. (P · R) (P q · R), (P · R) (P · q R). Einfache Fälle sind: K 7. (a · c) = (a c1 + a1 c = a b c1 + a1 b1 c + a b1 c1 + a1 b c = 0) = = (a b · c) (a · b c), (a b · e) = (a b c · e) (a b · c e) = (a b c d · e) (a b c · d e) (a b d · c e) (a b · c d e), (a · e) = (a b · e) (a · b e) = (a b c · e) (a b · c e) (a c · b e) (a · b c e) = = (a b c d · e) (a b c · d e) (a b d · c e) (a b · c d e) (a c d · b e) (a c · b d e) (a d · b c e) (a · b c d e), = (4 · e) (3 · d e) (3 · c e) (3 · b c) (a b · 3) (a c · 3) (a d · 3) (a · 4),

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 573. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/217>, abgerufen am 24.11.2024.

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