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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Zu dem Ende fassen wir den Fall in's Auge, wo das Element 1 in
h (= 0, 1, 2, ... n -- 2) von den n -- 1 Elementepaaren des Systems, in
die es eingeht, voransteht, also in den k = n -- h -- 1 (= n -- 1, n -- 2, ... 1)
übrigen hintansteht. Der Fall nämlich, wo es in allen (h = ) n -- 1 Paaren
voranstünde, (in n -- h -- 1 = 0 solchen hintansteht), wäre jedenfalls ein
solcher (mit Stern zu markirender), in welchem die Voraussetzung des
Satzes nicht zutrifft.

Für die Elemente 1, 2, 3, ... 9, 0, also n = 10, n -- 1 = 9,
[Formel 1] = 45, 245 = 35 184372 088832, und zwar h = 5, n -- h -- 1 = 4
mögen die abstrakten Betrachtungen jeweils veranschaulicht werden. Hier
sind etwa:
12, 13, 14, 15, 16; 71, 81, 91, 01 |
die vor dem ersten Striche stehenden neune von den 45 Elementepaaren,
und hinter dem Striche haben wir uns [Formel 2] -- (n -- 1) = [Formel 3] ,
hier 36, Elementepaare zu denken.

Es bedeute k irgend eines, sowie k' irgend ein anderes der h hinter 1
stehenden Elemente, (hier 2, 3, 4, 5, 6) und ähnlich l sowie l' irgend
eines der n -- h -- 1 vor 1 stehenden (7, 8, 9, 0). So haben wir die
Paare
1 k und l 1.

Nun ist klar, dass wenn hinter dem Striche ein Elementepaar k l
steht, der Cyklus
1 k, k l, l 1 oder 1 k l 1
vorliegen, unser Satz mithin als geltend erwiesen sein wird.

Zu beweisen haben wir ihn demnach nur noch für den Fall, wo alle
aus einem k und einem l zusammengesetzten Elementepaare Kehrfolgen l k
sind. Mit dieser Voraussetzung sind die h (n -- h -- 1) gleich 20 Elemente-
paare der
"ersten Matrize": [Formel 4]
vollkommen bestimmt; diese jedenfalls werden hinter dem Striche stehen,
und können nur noch die [Formel 5] gleich 10 Kombinationen der h Elemente
k unter sich, sowie die [Formel 6] gleich 6 Kombinationen der
n -- h -- 1 = k Elemente l unter sich irgendwie (als Recht- oder Kehrfolgen)
sich angesetzt finden -- und zwar auf [Formel 7] · [Formel 8] gleich 216 = 65 536
verschiedene Arten.

In der That ist identisch:
[Formel 9] = n -- 1 + h (n -- h -- 1) + [Formel 10] + [Formel 11] ,

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 36
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Zu dem Ende fassen wir den Fall in’s Auge, wo das Element 1 in
h (= 0, 1, 2, … n — 2) von den n — 1 Elementepaaren des Systems, in
die es eingeht, voransteht, also in den k = n — h — 1 (= n — 1, n — 2, … 1)
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voranstünde, (in n — h — 1 = 0 solchen hintansteht), wäre jedenfalls ein
solcher (mit Stern zu markirender), in welchem die Voraussetzung des
Satzes nicht zutrifft.

Für die Elemente 1, 2, 3, … 9, 0, also n = 10, n — 1 = 9,
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mögen die abstrakten Betrachtungen jeweils veranschaulicht werden. Hier
sind etwa:
12, 13, 14, 15, 16; 71, 81, 91, 01 |
die vor dem ersten Striche stehenden neune von den 45 Elementepaaren,
und hinter dem Striche haben wir uns [Formel 2] — (n — 1) = [Formel 3] ,
hier 36, Elementepaare zu denken.

Es bedeute ϰ irgend eines, sowie ϰ' irgend ein anderes der h hinter 1
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eines der n — h — 1 vor 1 stehenden (7, 8, 9, 0). So haben wir die
Paare
1 ϰ und λ 1.

Nun ist klar, dass wenn hinter dem Striche ein Elementepaar ϰ λ
steht, der Cyklus
1 ϰ, ϰ λ, λ 1 oder 1 ϰ λ 1
vorliegen, unser Satz mithin als geltend erwiesen sein wird.

Zu beweisen haben wir ihn demnach nur noch für den Fall, wo alle
aus einem ϰ und einem λ zusammengesetzten Elementepaare Kehrfolgen λ ϰ
sind. Mit dieser Voraussetzung sind die h (n — h — 1) gleich 20 Elemente-
paare der
„ersten Matrize“: [Formel 4]
vollkommen bestimmt; diese jedenfalls werden hinter dem Striche stehen,
und können nur noch die [Formel 5] gleich 10 Kombinationen der h Elemente
ϰ unter sich, sowie die [Formel 6] gleich 6 Kombinationen der
n — h — 1 = k Elemente λ unter sich irgendwie (als Recht- oder Kehrfolgen)
sich angesetzt finden — und zwar auf [Formel 7] · [Formel 8] gleich 216 = 65 536
verschiedene Arten.

In der That ist identisch:
[Formel 9] = n — 1 + h (n — h — 1) + [Formel 10] + [Formel 11] ,

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 36
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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 561. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/205>, abgerufen am 23.11.2024.