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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über-
trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher
als bei den Integralen.

Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei
andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des
Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch
mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr
ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze
einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden;
es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.

Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu
tragen sein:
Man definire: p (x -- a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und
p' (x -- a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x)
exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das
frühere Verhältniss hergestellt.

Die "unteren" Summengrenzen für eine Summationsvariable x
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen
wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in-
klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen-
tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie
zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende
mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an-
zuschreiben.

Darnach werden die drei McColl'schen Regeln, auf denen alle
Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und
seine Methode sofort anwendbar sein.

Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand
erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder-
lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem
angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen.

Beweis der Regel 1, Seite 528/9:
g1) x1, 3, 5, ... = x1 a1 + x3 a3 + x5 a5 + ...
sowie der zugehörigen Sätze e1), z1).

Zunächst ist e1) oder
ak al = 0 für k l
evident; denn ak enthält nach der Definition d1) den Faktor p (xk -- xl),
dagegen al den p (xl -- xk), und nach ps) ist:
p (xk -- xl) p (xl -- xk) = p (xk -- xl) p {-- (xk -- xl)} = 0.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über-
trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher
als bei den Integralen.

Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei
andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des
Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch
mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr
ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze
einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden;
es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.

Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu
tragen sein:
Man definire: p (x — a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und
p' (x — a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x)
exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das
frühere Verhältniss hergestellt.

Die „unteren“ Summengrenzen für eine Summationsvariable x
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen
wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in-
klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen-
tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie
zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende
mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an-
zuschreiben.

Darnach werden die drei McColl’schen Regeln, auf denen alle
Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und
seine Methode sofort anwendbar sein.

Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand
erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder-
lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem
angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen.

Beweis der Regel 1, Seite 528/9:
γ1) x1, 3, 5, … = x1 α1 + x3 α3 + x5 α5 + …
sowie der zugehörigen Sätze ε1), ζ1).

Zunächst ist ε1) oder
αϰ αλ = 0 für ϰ ≠ λ
evident; denn αϰ enthält nach der Definition δ1) den Faktor p (xϰ — xλ),
dagegen αλ den p (xλ — xϰ), und nach ψ) ist:
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[555/0199] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über- trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher als bei den Integralen. Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden; es ist hier nicht gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst. Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu tragen sein: Man definire: p (x — a) = (a x), sonach p (x) = (0 x), und p' (x — a) = (x < a), p' (x) = (x < 0), wie früher; so wird jetzt p' (x) exakt = p1 (x) = {p (x)}1 die Negation von p (x) sein, und ist das frühere Verhältniss hergestellt. Die „unteren“ Summengrenzen für eine Summationsvariable x treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen wird man die oberen Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in- klusive gerechnet werden sollen, je nur um 1 vermehrt in die Grenzen- tafel und in die Aussagensymbole p eintreten lassen dürfen, um sie zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an- zuschreiben. Darnach werden die drei McColl’schen Regeln, auf denen alle Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und seine Methode sofort anwendbar sein. Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder- lichkeit auf das Gebiet der ganzen Zahlen beschränkt und in diesem angewiesen sind, stets eine Sequenz von solchen zu durchlaufen. Beweis der Regel 1, Seite 528/9: γ1) x1, 3, 5, … = x1 α1 + x3 α3 + x5 α5 + … sowie der zugehörigen Sätze ε1), ζ1). Zunächst ist ε1) oder αϰ αλ = 0 für ϰ ≠ λ evident; denn αϰ enthält nach der Definition δ1) den Faktor p (xϰ — xλ), dagegen αλ den p (xλ — xϰ), und nach ψ) ist: p (xϰ — xλ) p (xλ — xϰ) = p (xϰ — xλ) p {— (xϰ — xλ)} = 0.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 555. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/199>, abgerufen am 18.02.2025.