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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
unterscheiden, dass sie nicht in weniger solche zusammengezogen werden
können. Von diesen leitet er auf fünf Druckseiten Rechnung das erste
nur ganz ausführlich ab, welches in dem "Jahrbuch über die Fortschritte der
Mathematik" Bd. 10, p. 35 irrtümlich als das ganze Resultat hingestellt ist.

Ungeachtet der Korrektheit seiner Rechnungen ist jedoch zufolge des
schon gekennzeichneten prinzipiellen Fehlers McColl's Ergebniss falsch,
und habe ich mich zum Überfluss durch die Probe für f = 1 überzeugt,
dass seine Formeln ein viel zu grosses Resultat liefern. In Wirklichkeit
ist die Aufgabe eine noch verwickeltere als sie bei McColl schon scheint,
und die Arbeit ihrer Lösung mehr als die dreifache: es wird J nämlich
in 28 (vierfache) Teilintegrale zerfallen, zwischen deren Grenzen keine solchen
Anschlüsse stattfinden, dass sie in weniger zusammengezogen werden könnten.

Die Richtigkeit meiner Lösung, die ich verbürgen zu können glaube,
habe ich für die Annahme f = 1 auch erprobt.

Zur Vorbereitung müssen wir erst durch geeignete Zerteilung der
Intervalle und nötigenfalles Vertauschung der Grenzen (unter obligater
Änderung des Vorzeichens beim Integrale) hinzubringen suchen, dass
unser Integral J sich ·additiv oder subtraktiv aus lauter solchen Teil-
integralen zusammensetze, in denen durchweg jede obere Grenze wirk-
lich grösser ist, als die entsprechende untere.

Inbezug auf die beiden ersten Integrationen nach w und x gelingt
dies zunächst durch die Zerlegung:
J = J1 + J2, wo
J1 = [Formel 1] , -- J2 = [Formel 2] .

Und inbezug auf die beiden letzten Integrationen nach y und z,
somit durchaus, gelingt es weiter, indem wir zerlegen:

J1 = J11 + J12, -- J2 = J21 + J22, wo
J11 = [Formel 3] ,J12 = [Formel 4] ,
w > 0, x > 0w > 0, x < 0
J21 = [Formel 5] ,J22 = [Formel 6] ,
w < 0, x > 0w < 0, x < 0
wobei schliesslich also:
J = J11 + J12 -- J21 -- J22
sein wird.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
unterscheiden, dass sie nicht in weniger solche zusammengezogen werden
können. Von diesen leitet er auf fünf Druckseiten Rechnung das erste
nur ganz ausführlich ab, welches in dem „Jahrbuch über die Fortschritte der
Mathematik“ Bd. 10, p. 35 irrtümlich als das ganze Resultat hingestellt ist.

Ungeachtet der Korrektheit seiner Rechnungen ist jedoch zufolge des
schon gekennzeichneten prinzipiellen Fehlers McColl’s Ergebniss falsch,
und habe ich mich zum Überfluss durch die Probe für f = 1 überzeugt,
dass seine Formeln ein viel zu grosses Resultat liefern. In Wirklichkeit
ist die Aufgabe eine noch verwickeltere als sie bei McColl schon scheint,
und die Arbeit ihrer Lösung mehr als die dreifache: es wird J nämlich
in 28 (vierfache) Teilintegrale zerfallen, zwischen deren Grenzen keine solchen
Anschlüsse stattfinden, dass sie in weniger zusammengezogen werden könnten.

Die Richtigkeit meiner Lösung, die ich verbürgen zu können glaube,
habe ich für die Annahme f = 1 auch erprobt.

Zur Vorbereitung müssen wir erst durch geeignete Zerteilung der
Intervalle und nötigenfalles Vertauschung der Grenzen (unter obligater
Änderung des Vorzeichens beim Integrale) hinzubringen suchen, dass
unser Integral J sich ·additiv oder subtraktiv aus lauter solchen Teil-
integralen zusammensetze, in denen durchweg jede obere Grenze wirk-
lich grösser ist, als die entsprechende untere.

Inbezug auf die beiden ersten Integrationen nach w und x gelingt
dies zunächst durch die Zerlegung:
J = J1 + J2, wo
J1 = [Formel 1] , — J2 = [Formel 2] .

Und inbezug auf die beiden letzten Integrationen nach y und z,
somit durchaus, gelingt es weiter, indem wir zerlegen:

J1 = J11 + J12, — J2 = J21 + J22, wo
J11 = [Formel 3] ,J12 = [Formel 4] ,
w > 0, x > 0w > 0, x < 0
J21 = [Formel 5] ,J22 = [Formel 6] ,
w < 0, x > 0w < 0, x < 0
wobei schliesslich also:
J = J11 + J12 — J21 — J22
sein wird.

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[543/0187] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. unterscheiden, dass sie nicht in weniger solche zusammengezogen werden können. Von diesen leitet er auf fünf Druckseiten Rechnung das erste nur ganz ausführlich ab, welches in dem „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“ Bd. 10, p. 35 irrtümlich als das ganze Resultat hingestellt ist. Ungeachtet der Korrektheit seiner Rechnungen ist jedoch zufolge des schon gekennzeichneten prinzipiellen Fehlers McColl’s Ergebniss falsch, und habe ich mich zum Überfluss durch die Probe für f = 1 überzeugt, dass seine Formeln ein viel zu grosses Resultat liefern. In Wirklichkeit ist die Aufgabe eine noch verwickeltere als sie bei McColl schon scheint, und die Arbeit ihrer Lösung mehr als die dreifache: es wird J nämlich in 28 (vierfache) Teilintegrale zerfallen, zwischen deren Grenzen keine solchen Anschlüsse stattfinden, dass sie in weniger zusammengezogen werden könnten. Die Richtigkeit meiner Lösung, die ich verbürgen zu können glaube, habe ich für die Annahme f = 1 auch erprobt. Zur Vorbereitung müssen wir erst durch geeignete Zerteilung der Intervalle und nötigenfalles Vertauschung der Grenzen (unter obligater Änderung des Vorzeichens beim Integrale) hinzubringen suchen, dass unser Integral J sich ·additiv oder subtraktiv aus lauter solchen Teil- integralen zusammensetze, in denen durchweg jede obere Grenze wirk- lich grösser ist, als die entsprechende untere. Inbezug auf die beiden ersten Integrationen nach w und x gelingt dies zunächst durch die Zerlegung: J = J1 + J2, wo J1 = [FORMEL], — J2 = [FORMEL]. Und inbezug auf die beiden letzten Integrationen nach y und z, somit durchaus, gelingt es weiter, indem wir zerlegen: J1 = J11 + J12, — J2 = J21 + J22, wo J11 = [FORMEL], J12 = [FORMEL], w > 0, x > 0 w > 0, x < 0 J21 = [FORMEL], J22 = [FORMEL], w < 0, x > 0 w < 0, x < 0 wobei schliesslich also: J = J11 + J12 — J21 — J22 sein wird.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 543. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/187>, abgerufen am 08.05.2024.