Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

und indem wir uns die folgende „Grenzentabelle“ anlegen:

x_1 = a	y_1 = x — a
x_2 = 2 a	y_2 = x + a
x_3 = y — a
x_4 = y + a

deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen,
wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich
nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik:
A = x_{2', 1} y_{2', 1}.

Da es darauf ankommt, die Integration nach x zur erstauszuführenden
oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach y „aufgelöst“
erscheinende Doppelungleichung y_{2', 1} = (x — a < y < x + a) nun nach x
„auflösen“, d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt
sich — hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen:
(x — a < y < x + a) = (y — a < x < y + a), oder
y_{2', 1} = x_{4', 3}
womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar-
nach ist:
A = x_2',1 x_4',3 = x_2',4',1,3 = x_2',4' x_1,3
und haben wir nach Regel 2:
x_2',4' = x_2' α^2' + x_4, α^4', wo α^2' = p' (x₂ — x₄) = (a — y < 0)
α^4' = p' (x₄ — x₂) = (y — a < 0)
sowie nach Regel 1:
x_1,3 = x₁ α¹ + x₃ α³, wo α¹ = p (x₁ — x₃) = (2 a — y > 0)
α³ = p (x₃ — x₁) = (y — 2 a > 0)
mithin:
A = (x_2' α^2' + x_4' α^4') (x₁ α¹ + x₃ α³) =
= x_2',1 α^2' α¹ + x_2',3 α^2' α³ + x_4',1 α^4' α¹ + x_4',3 α^4' α³;
[Formel 1] nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten
Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus-
führlich hinschreiben, um dieselben nach y aufzubrechen; es ist:
α^2' α¹ p (x₂ — x₁) = (y — a > 0) (2 a — y > 0) (a > 0) = (a < y < 2 a),
α^2' α³ p (x₂ — x₃) = (y — a > 0) (y — 2 a > 0) (3a — y > 0) = (2 a < y < 3a),
α^4' α¹ p (x₄ — x₁) = (a — y > 0) (2 a — y > 0) (y > 0) = (0 < y < a),
α^4' α³ p (x₄ — x₃) = (a — y > 0) (y — 2 a > 0) (2 a > 0) =
= (2 a < y < a) (a > 0) = 0,