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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
jeweils nach den Tautologie- und Absorptionsgesetzen etc. auf ihren ein-
fachsten Ausdruck reduzirend.

Natürlich wenn unter der Bedingung eines und desselben Koeffizientengliedes
zweimal gefordert würde, (dieselbe Funktion) nach x von a bis b zu integriren,
so dürfte in der Summe von Teilintegralen das [Formel 1] d x · etc. doch nur einmal angesetzt
werden. Und wenn etwa (für c > 0, d > 0) unter der nämlichen Bedingung der
Ansatz von [Formel 2] d x · alternativ mit dem Ansatze [Formel 3] d x · zusammenträte, so wäre
der erstere zu verwerfen, der letztere allein beizubehalten; es wäre in solch'
scheinbarem Konfliktsfalle zu integriren immer zwischen den weitesten oder
entferntesten der angegebenen oder zugelassenen Grenzen. In der That
beweist man sich leicht, dass (unter genannter Voraussetzung):
(a < x) + (a + c < x) = (a < x), (x < b) + (x < b + d) = (x < b + d),
(a < x < b) + (a -- c < x < b + d) = (a -- c < x < b + d),
(a -- c < x < b) + (a < x < b + d) = (a -- c < x < b + d), etc.

Zwecks Mitteilung, Drucklegung eines nach McColl's Methode
gelösten Problemes thut man gut, die "Grenzentabelle" sogleich zum
voraus fertig anzugeben, obwol dieselbe sich erst nach und nach er-
gibt und anwächst nach Maassgabe wie die Operationen fortschreiten.

McColl macht noch darauf aufmerksam, dass wenn etwa aus Unacht-
samkeit die nämliche Zahl zweimal unter verschiedenen Namen -- sagen
wir xk und xl -- als Grenze für dieselbe Variable x in die Tafel eingetragen
sein sollte, dieses sich zumeist dadurch kundgeben würde, dass nach Regel
3 ein Faktor p (xk -- xl) = p (0) = (0 < 0) = 0 bei Gliedern der Aussage
A aufträte.

In die Tabelle brauchen die in der ursprünglichen Integralaussage
unmittelbar gegebenen Grenzen nicht eingetragen zu werden, sondern erst
die beim Aufbrechen ihrer Ungleichungen nach der zur innersten, zweit-
innersten etc. designirten Integrationsvariablen sich als Grenzen ergebenden
Werte. Das erste mal wollen wir indess bei einem Beispiele auch jene
noch in die Tafel aufnehmen.

Zur Erläuterung des Verfahrens wollen wir nämlich jetzt als ein erstes
einfachstes Beispiel das eingangs angeführte Doppelintegral behandeln.

Dasselbe wird das erste nach McColl's Methode behandelte Doppel-
integral sein, indem der Entdecker dieser Methode und seine bisherigen
Nachfolger dieselbe immer nur auf drei- und vierfache Integrale angewendet
haben. -- Hier sind die oberen Grenzen ohnehin stets grösser als die untern,
sodass die Vorbereitungsarbeit wegfällt.

Die unmittelbar gegebene Aussage war
A, = (a < x < 2 a) (x -- a < y < x + a),

Anhang 7.
jeweils nach den Tautologie- und Absorptionsgesetzen etc. auf ihren ein-
fachsten Ausdruck reduzirend.

Natürlich wenn unter der Bedingung eines und desselben Koeffizientengliedes
zweimal gefordert würde, (dieselbe Funktion) nach x von a bis b zu integriren,
so dürfte in der Summe von Teilintegralen das [Formel 1] d x · etc. doch nur einmal angesetzt
werden. Und wenn etwa (für c > 0, d > 0) unter der nämlichen Bedingung der
Ansatz von [Formel 2] d x · alternativ mit dem Ansatze [Formel 3] d x · zusammenträte, so wäre
der erstere zu verwerfen, der letztere allein beizubehalten; es wäre in solch’
scheinbarem Konfliktsfalle zu integriren immer zwischen den weitesten oder
entferntesten der angegebenen oder zugelassenen Grenzen. In der That
beweist man sich leicht, dass (unter genannter Voraussetzung):
(a < x) + (a + c < x) = (a < x), (x < b) + (x < b + d) = (x < b + d),
(a < x < b) + (a — c < x < b + d) = (a — c < x < b + d),
(a — c < x < b) + (a < x < b + d) = (a — c < x < b + d), etc.

Zwecks Mitteilung, Drucklegung eines nach McColl’s Methode
gelösten Problemes thut man gut, die „Grenzentabelle“ sogleich zum
voraus fertig anzugeben, obwol dieselbe sich erst nach und nach er-
gibt und anwächst nach Maassgabe wie die Operationen fortschreiten.

McColl macht noch darauf aufmerksam, dass wenn etwa aus Unacht-
samkeit die nämliche Zahl zweimal unter verschiedenen Namen — sagen
wir xϰ und xλ — als Grenze für dieselbe Variable x in die Tafel eingetragen
sein sollte, dieses sich zumeist dadurch kundgeben würde, dass nach Regel
3 ein Faktor p (xϰ — xλ) = p (0) = (0 < 0) = 0 bei Gliedern der Aussage
A aufträte.

In die Tabelle brauchen die in der ursprünglichen Integralaussage
unmittelbar gegebenen Grenzen nicht eingetragen zu werden, sondern erst
die beim Aufbrechen ihrer Ungleichungen nach der zur innersten, zweit-
innersten etc. designirten Integrationsvariablen sich als Grenzen ergebenden
Werte. Das erste mal wollen wir indess bei einem Beispiele auch jene
noch in die Tafel aufnehmen.

Zur Erläuterung des Verfahrens wollen wir nämlich jetzt als ein erstes
einfachstes Beispiel das eingangs angeführte Doppelintegral behandeln.

Dasselbe wird das erste nach McColl’s Methode behandelte Doppel-
integral sein, indem der Entdecker dieser Methode und seine bisherigen
Nachfolger dieselbe immer nur auf drei- und vierfache Integrale angewendet
haben. — Hier sind die oberen Grenzen ohnehin stets grösser als die untern,
sodass die Vorbereitungsarbeit wegfällt.

Die unmittelbar gegebene Aussage war
A, = (a < x < 2 a) (x — a < y < x + a),

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[540/0184] Anhang 7. jeweils nach den Tautologie- und Absorptionsgesetzen etc. auf ihren ein- fachsten Ausdruck reduzirend. Natürlich wenn unter der Bedingung eines und desselben Koeffizientengliedes zweimal gefordert würde, (dieselbe Funktion) nach x von a bis b zu integriren, so dürfte in der Summe von Teilintegralen das [FORMEL] d x · etc. doch nur einmal angesetzt werden. Und wenn etwa (für c > 0, d > 0) unter der nämlichen Bedingung der Ansatz von [FORMEL] d x · alternativ mit dem Ansatze [FORMEL] d x · zusammenträte, so wäre der erstere zu verwerfen, der letztere allein beizubehalten; es wäre in solch’ scheinbarem Konfliktsfalle zu integriren immer zwischen den weitesten oder entferntesten der angegebenen oder zugelassenen Grenzen. In der That beweist man sich leicht, dass (unter genannter Voraussetzung): (a < x) + (a + c < x) = (a < x), (x < b) + (x < b + d) = (x < b + d), (a < x < b) + (a — c < x < b + d) = (a — c < x < b + d), (a — c < x < b) + (a < x < b + d) = (a — c < x < b + d), etc. Zwecks Mitteilung, Drucklegung eines nach McColl’s Methode gelösten Problemes thut man gut, die „Grenzentabelle“ sogleich zum voraus fertig anzugeben, obwol dieselbe sich erst nach und nach er- gibt und anwächst nach Maassgabe wie die Operationen fortschreiten. McColl macht noch darauf aufmerksam, dass wenn etwa aus Unacht- samkeit die nämliche Zahl zweimal unter verschiedenen Namen — sagen wir xϰ und xλ — als Grenze für dieselbe Variable x in die Tafel eingetragen sein sollte, dieses sich zumeist dadurch kundgeben würde, dass nach Regel 3 ein Faktor p (xϰ — xλ) = p (0) = (0 < 0) = 0 bei Gliedern der Aussage A aufträte. In die Tabelle brauchen die in der ursprünglichen Integralaussage unmittelbar gegebenen Grenzen nicht eingetragen zu werden, sondern erst die beim Aufbrechen ihrer Ungleichungen nach der zur innersten, zweit- innersten etc. designirten Integrationsvariablen sich als Grenzen ergebenden Werte. Das erste mal wollen wir indess bei einem Beispiele auch jene noch in die Tafel aufnehmen. Zur Erläuterung des Verfahrens wollen wir nämlich jetzt als ein erstes einfachstes Beispiel das eingangs angeführte Doppelintegral behandeln. Dasselbe wird das erste nach McColl’s Methode behandelte Doppel- integral sein, indem der Entdecker dieser Methode und seine bisherigen Nachfolger dieselbe immer nur auf drei- und vierfache Integrale angewendet haben. — Hier sind die oberen Grenzen ohnehin stets grösser als die untern, sodass die Vorbereitungsarbeit wegfällt. Die unmittelbar gegebene Aussage war A, = (a < x < 2 a) (x — a < y < x + a),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 540. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/184>, abgerufen am 24.11.2024.