Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Anhang 7.

Um nun die Integration nach einer vorgeschriebenen Variabeln x
zur innersten zu machen, breche man sämtliche Ungleichungen, in
welchen x vorkommt, nach dieser Variabeln als einer Unbekannten auf
(und behalte die übrigen Ungleichungen unverändert bei).

Unter dem „Aufbrechen“ (oder „Auflösen“) einer Ungleichung nach
einer Unbekannten verstehen wir die Ableitung von lauter solchen Un-
gleichungen aus jener, welche als Major oder Minor die gedachte Un-
bekannte höchstens (d. h. wenn überhaupt, so jedenfalls) isolirt enthalten
(sodass dieselbe auf ihrer andern Seite dann auch nicht vorkommt),
eventuell mit Angabe der jeweils für ihre Geltung sich ergebenden
Bedingungen, und so, dass aus ihrer Gesamtheit (oder vereinigten
Aussage) ein Rückschluss auf die gegebene Ungleichung zulässig ist,
mithin zusammen sie dieser äquivalent sein werden.

Diesen Prozess, der, wie schon (S. 533) angedeutet, eine eingehendere
Theorie verdiente, wollen wir hier ohne weiteres als allgemein ausführbar
voraussetzen.

Aus einer gegebenen Ungleichung F (x) < 0 mögen in dieser Weise
folgen:
erstens Ungleichungen, die x gar nicht enthalten; — z. B. sollte c (x² + y²) < 0
sein, so müsste c < 0 sein —
zweitens Ungleichungen, die x — indessen blos als Major oder aber Minor —
enthalten.

Von beiderlei Sorten von Ungleichungen kann wieder erforderlich sein,
dass sie simultan, oder dass sie alternativ gelten; auch kann die Geltung
der einen an diejenige von andern als an eine Bedingung geknüpft sein —
in welch’ letzterem Falle wir die konditionale Forderung, wie im vorigen
Kontext geschildert, in eine Alternative werden umzuwandeln haben.
Kurzum es mag sich als die der Ungleichung F (x) < 0 äquivalente „Auf-
lösung“ derselben nach der Unbekannten x eine Aussage ergeben von be-
liebiger Komplikation, aber ähnlicher Natur wie die schon geschilderte A
selbst — nur dass sie eben bei den in sie eingehenden Ungleichungen
das x jetzt nicht mehr anders, denn isolirt, enthält. Von dieser wird
demnach ebenfalls gelten, dass sie als eine Summe von lauter Produkten
aus Ungleichungen selbst darstellbar ist.

Die so gewonnene Auflösung nach x einer jeden Ungleichung
in A, die x enthielt, ist aussagenrechnerisch dargestellt nun in den
Ausdruck von A zu substituiren und sind wenigstens diejenigen Terme,
in denen x vorkommt, auszumultipliziren. Somit erhalten wir A nun
dargestellt als ein Aggregat von Gliedern, in deren Faktor-un-
gleichungen x nie anders als wie als Major oder Minor auftritt.

Die hinsichtlich x konstante andre Seite einer jeden solchen Un-
gleichung, der Minor resp. Major derselben, ist eine der gesuchten
„unteren“ resp. „oberen“ Grenzen für die Integrationsvariable x. Auf