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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
die untere wirklich algebraisch kleiner ist als die obere, dann einfach
negativ in Rechnung. Bei konsequenter Anwendung von McColl's
Verfahren müsste es aber ausfallen, würde es unberücksichtigt bleiben!

Am einfachsten geht dies aus Regel 3 hervor, bei deren Begründung
der Umstand vielleicht schon manchem Leser aufgefallen ist.

Betrachten wir z. B. das Integral: [Formel 1] f (x) d x, so wäre, wenn 5 = x1
und -- 3 = x2 genannt wird: x2', 1 = (5 < x < -- 3) p (-- 3 -- 5) die zu-
gehörige Integralaussage, und da schon der Faktor p (-- 8), = (-- 8 > 0) = 0
absurd ist und die Regel 3 namentlich auch verwendet wird, um Terme
mit widerspruchsvollen Grenzenbestimmungen ausfindig zu machen und aus-
zumerzen (to "reject"), so müsste ein auf vorliegendes hinauslaufendes Teil-
integral nun "verworfen" werden! Richtig zu werke gehend aber müssten
wir es doch als: -- [Formel 2] f (x) d x in Rechnung ziehen.

Demgemäss lässt sich unmodifizirt die Methode McColl's nur an-
wenden auf solche mehrfache Integrale, in denen bei jeder einzelnen
von den vorgeschriebenen successiven einfachen Integrationen die untere
Grenze stets kleiner bleibt (genauer gesagt: nie grösser wird) als die obere.

Auf andere Integrale ohne weiteres angewendet wird sie falsche
und zwar im allgemeinen zu grosse Werte liefern, weil negativ (resp.
entgegengesetzt) in Rechnung fallende Teilintegrale oder Integralteile
von ihr unberücksichtigt gelassen werden.

Indessen kann man jedem gegebnen mehrfachen Integrale eine solche
Vorbereitung geben, man kann es nötigenfalls durch Zerlegung der
verschiedenen Intervalle und Vertauschung der beiden Grenzen in dem
einen oder andern der damit sich ergebenden Teilintegrale (unter Um-
kehrung seines Vorzeichens) in lauter solche Integrale zerspalten, dass
auf deren jedes die Methode sofort anwendbar sein wird.

Nicht angängig erscheint es, etwa die Symbole xk', l McColl's blos
durchweg zu ersetzen durch xk', l + xl', k, weil dabei nicht zum Ausdruck käme,
dass die Teilintegrale, welche den vom zweiten Term herrührenden Aussagen
im Endergebniss entsprechen werden, entgegengesetzt in die Summe einzutreten
haben. Ob es vorteilhaft sein könnte, als zugehörige Aussagensumme statt
dessen etwa xk', l -- xl', k zu schreiben, auf diese Weise beim zweiten Terme
jenen Umstand markirend -- wo die Minuszeichen zwar als Zeichen iden-
tischer Addition zu deuten und zu behandeln wären, die ausserdem nur der
Zeichenregel: -- + = + -- = -- und -- -- = + unterworfen sind -- wollen
wir dahingestellt sein lassen. Immer hat man doch die McColl'schen
Operationen an jedem Terme einzeln durchzuführen.

Die ferneren Betrachtungen mögen an das allgemeine vierfache

Anhang 7.
die untere wirklich algebraisch kleiner ist als die obere, dann einfach
negativ in Rechnung. Bei konsequenter Anwendung von McColl’s
Verfahren müsste es aber ausfallen, würde es unberücksichtigt bleiben!

Am einfachsten geht dies aus Regel 3 hervor, bei deren Begründung
der Umstand vielleicht schon manchem Leser aufgefallen ist.

Betrachten wir z. B. das Integral: [Formel 1] f (x) d x, so wäre, wenn 5 = x1
und — 3 = x2 genannt wird: x2', 1 = (5 < x < — 3) p (— 3 — 5) die zu-
gehörige Integralaussage, und da schon der Faktor p (— 8), = (— 8 > 0) = 0
absurd ist und die Regel 3 namentlich auch verwendet wird, um Terme
mit widerspruchsvollen Grenzenbestimmungen ausfindig zu machen und aus-
zumerzen (to „reject“), so müsste ein auf vorliegendes hinauslaufendes Teil-
integral nun „verworfen“ werden! Richtig zu werke gehend aber müssten
wir es doch als: — [Formel 2] f (x) d x in Rechnung ziehen.

Demgemäss lässt sich unmodifizirt die Methode McColl’s nur an-
wenden auf solche mehrfache Integrale, in denen bei jeder einzelnen
von den vorgeschriebenen successiven einfachen Integrationen die untere
Grenze stets kleiner bleibt (genauer gesagt: nie grösser wird) als die obere.

Auf andere Integrale ohne weiteres angewendet wird sie falsche
und zwar im allgemeinen zu grosse Werte liefern, weil negativ (resp.
entgegengesetzt) in Rechnung fallende Teilintegrale oder Integralteile
von ihr unberücksichtigt gelassen werden.

Indessen kann man jedem gegebnen mehrfachen Integrale eine solche
Vorbereitung geben, man kann es nötigenfalls durch Zerlegung der
verschiedenen Intervalle und Vertauschung der beiden Grenzen in dem
einen oder andern der damit sich ergebenden Teilintegrale (unter Um-
kehrung seines Vorzeichens) in lauter solche Integrale zerspalten, dass
auf deren jedes die Methode sofort anwendbar sein wird.

Nicht angängig erscheint es, etwa die Symbole xϰ', λ McColl’s blos
durchweg zu ersetzen durch xϰ', λ + xλ', ϰ, weil dabei nicht zum Ausdruck käme,
dass die Teilintegrale, welche den vom zweiten Term herrührenden Aussagen
im Endergebniss entsprechen werden, entgegengesetzt in die Summe einzutreten
haben. Ob es vorteilhaft sein könnte, als zugehörige Aussagensumme statt
dessen etwa xϰ', λ — xλ', ϰ zu schreiben, auf diese Weise beim zweiten Terme
jenen Umstand markirend — wo die Minuszeichen zwar als Zeichen iden-
tischer Addition zu deuten und zu behandeln wären, die ausserdem nur der
Zeichenregel: — + = + — = — und — — = + unterworfen sind — wollen
wir dahingestellt sein lassen. Immer hat man doch die McColl’schen
Operationen an jedem Terme einzeln durchzuführen.

Die ferneren Betrachtungen mögen an das allgemeine vierfache

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[532/0176] Anhang 7. die untere wirklich algebraisch kleiner ist als die obere, dann einfach negativ in Rechnung. Bei konsequenter Anwendung von McColl’s Verfahren müsste es aber ausfallen, würde es unberücksichtigt bleiben! Am einfachsten geht dies aus Regel 3 hervor, bei deren Begründung der Umstand vielleicht schon manchem Leser aufgefallen ist. Betrachten wir z. B. das Integral: [FORMEL] f (x) d x, so wäre, wenn 5 = x1 und — 3 = x2 genannt wird: x2', 1 = (5 < x < — 3) p (— 3 — 5) die zu- gehörige Integralaussage, und da schon der Faktor p (— 8), = (— 8 > 0) = 0 absurd ist und die Regel 3 namentlich auch verwendet wird, um Terme mit widerspruchsvollen Grenzenbestimmungen ausfindig zu machen und aus- zumerzen (to „reject“), so müsste ein auf vorliegendes hinauslaufendes Teil- integral nun „verworfen“ werden! Richtig zu werke gehend aber müssten wir es doch als: — [FORMEL] f (x) d x in Rechnung ziehen. Demgemäss lässt sich unmodifizirt die Methode McColl’s nur an- wenden auf solche mehrfache Integrale, in denen bei jeder einzelnen von den vorgeschriebenen successiven einfachen Integrationen die untere Grenze stets kleiner bleibt (genauer gesagt: nie grösser wird) als die obere. Auf andere Integrale ohne weiteres angewendet wird sie falsche und zwar im allgemeinen zu grosse Werte liefern, weil negativ (resp. entgegengesetzt) in Rechnung fallende Teilintegrale oder Integralteile von ihr unberücksichtigt gelassen werden. Indessen kann man jedem gegebnen mehrfachen Integrale eine solche Vorbereitung geben, man kann es nötigenfalls durch Zerlegung der verschiedenen Intervalle und Vertauschung der beiden Grenzen in dem einen oder andern der damit sich ergebenden Teilintegrale (unter Um- kehrung seines Vorzeichens) in lauter solche Integrale zerspalten, dass auf deren jedes die Methode sofort anwendbar sein wird. Nicht angängig erscheint es, etwa die Symbole xϰ', λ McColl’s blos durchweg zu ersetzen durch xϰ', λ + xλ', ϰ, weil dabei nicht zum Ausdruck käme, dass die Teilintegrale, welche den vom zweiten Term herrührenden Aussagen im Endergebniss entsprechen werden, entgegengesetzt in die Summe einzutreten haben. Ob es vorteilhaft sein könnte, als zugehörige Aussagensumme statt dessen etwa xϰ', λ — xλ', ϰ zu schreiben, auf diese Weise beim zweiten Terme jenen Umstand markirend — wo die Minuszeichen zwar als Zeichen iden- tischer Addition zu deuten und zu behandeln wären, die ausserdem nur der Zeichenregel: — + = + — = — und — — = + unterworfen sind — wollen wir dahingestellt sein lassen. Immer hat man doch die McColl’schen Operationen an jedem Terme einzeln durchzuführen. Die ferneren Betrachtungen mögen an das allgemeine vierfache

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 532. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/176>, abgerufen am 09.05.2024.