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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und zwar einen solchen, welcher die notwendige und hinreichende
Bedingung dafür ausdrückt, dass es überhaupt ein x gebe, welches die
Forderung xk', l erfüllt, für welches nämlich xl untere und zugleich xk
obere Grenze ist. Die Ungleichung
xl < xk
charakterisirt sich in der That als (volle) Resultante der Elimination
von x aus der Doppelungleichung
(xl < x) (x < xk) oder (xl < x < xk);
und sie könnte auch -- in offenbarer Analogie mit dem § 21 unserer
Theorie -- als die "Valenz-Bedingung" für das durch letztere ein-
geschränkte x bezeichnet werden. Indem die kooptirte Ungleichung
p (xk -- xl) die Unbekannte x gar nicht enthält, bringt sie immer nur
eine Bedingung zum Ausdruck, welcher die übrigen Integrationsvariabeln
(ausser x) und eventuell die Parameter des Problems zu unterwerfen
sind, und pflegt sich die Ausserachtlassung dieser Bedingung gewöhn-
lich schwer zu rächen. --

Aus in geeigneter Ordnung wiederholten Anwendungen vorstehender
drei Regeln wird sich das ganze Verfahren McColl's zusammensetzen.
Bevor wir dies darlegen, muss jedoch die oben erwähnte Berichtigung
angebracht werden.

Das Verfahren leidet nämlich, so wie Herr McColl es dargestellt,
an einem prinzipiellen Fehler, welcher entspringt aus dem Doppelsinn
des Wortes "obere resp. untere Grenze", der durch McColl's Erklärung
eingeführt worden. Die obere Grenze b und untere a eines Integrals:
[Formel 1] f (x) d x
ist nicht immer eine solche in dem Sinne McColl's, wonach unbedingt
(a < x) (x < b) gelten müsste, sondern ebensogut mag auch umgekehrt
(b < x) (x <a) gelten. Im letzteren Falle, wo b < a ist, kann man ja
bekanntlich durch Vertauschung der beiden Grenzen, was unter Vor-
ansetzung eines Minuszeichens, Zeichenänderung des Integrals, gestattet
ist, in Gestalt des Ansatzes:
-- [Formel 2] f (x) d x
den ersteren Fall herstellen, und kommt das betreffende Integral der-
gestalt angesetzt mit Grenzen im McColl'schen Sinne, von welchen

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McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und zwar einen solchen, welcher die notwendige und hinreichende
Bedingung dafür ausdrückt, dass es überhaupt ein x gebe, welches die
Forderung xϰ', λ erfüllt, für welches nämlich xλ untere und zugleich xϰ
obere Grenze ist. Die Ungleichung
xλ < xϰ
charakterisirt sich in der That als (volle) Resultante der Elimination
von x aus der Doppelungleichung
(xλ < x) (x < xϰ) oder (xλ < x < xϰ);
und sie könnte auch — in offenbarer Analogie mit dem § 21 unserer
Theorie — als die „Valenz-Bedingung“ für das durch letztere ein-
geschränkte x bezeichnet werden. Indem die kooptirte Ungleichung
p (xϰ — xλ) die Unbekannte x gar nicht enthält, bringt sie immer nur
eine Bedingung zum Ausdruck, welcher die übrigen Integrationsvariabeln
(ausser x) und eventuell die Parameter des Problems zu unterwerfen
sind, und pflegt sich die Ausserachtlassung dieser Bedingung gewöhn-
lich schwer zu rächen. —

Aus in geeigneter Ordnung wiederholten Anwendungen vorstehender
drei Regeln wird sich das ganze Verfahren McColl’s zusammensetzen.
Bevor wir dies darlegen, muss jedoch die oben erwähnte Berichtigung
angebracht werden.

Das Verfahren leidet nämlich, so wie Herr McColl es dargestellt,
an einem prinzipiellen Fehler, welcher entspringt aus dem Doppelsinn
des Wortes „obere resp. untere Grenze“, der durch McColl’s Erklärung
eingeführt worden. Die obere Grenze b und untere a eines Integrals:
[Formel 1] f (x) d x
ist nicht immer eine solche in dem Sinne McColl’s, wonach unbedingt
(a < x) (x < b) gelten müsste, sondern ebensogut mag auch umgekehrt
(b < x) (x <a) gelten. Im letzteren Falle, wo b < a ist, kann man ja
bekanntlich durch Vertauschung der beiden Grenzen, was unter Vor-
ansetzung eines Minuszeichens, Zeichenänderung des Integrals, gestattet
ist, in Gestalt des Ansatzes:
— [Formel 2] f (x) d x
den ersteren Fall herstellen, und kommt das betreffende Integral der-
gestalt angesetzt mit Grenzen im McColl’schen Sinne, von welchen

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[531/0175] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. und zwar einen solchen, welcher die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ausdrückt, dass es überhaupt ein x gebe, welches die Forderung xϰ', λ erfüllt, für welches nämlich xλ untere und zugleich xϰ obere Grenze ist. Die Ungleichung xλ < xϰ charakterisirt sich in der That als (volle) Resultante der Elimination von x aus der Doppelungleichung (xλ < x) (x < xϰ) oder (xλ < x < xϰ); und sie könnte auch — in offenbarer Analogie mit dem § 21 unserer Theorie — als die „Valenz-Bedingung“ für das durch letztere ein- geschränkte x bezeichnet werden. Indem die kooptirte Ungleichung p (xϰ — xλ) die Unbekannte x gar nicht enthält, bringt sie immer nur eine Bedingung zum Ausdruck, welcher die übrigen Integrationsvariabeln (ausser x) und eventuell die Parameter des Problems zu unterwerfen sind, und pflegt sich die Ausserachtlassung dieser Bedingung gewöhn- lich schwer zu rächen. — Aus in geeigneter Ordnung wiederholten Anwendungen vorstehender drei Regeln wird sich das ganze Verfahren McColl’s zusammensetzen. Bevor wir dies darlegen, muss jedoch die oben erwähnte Berichtigung angebracht werden. Das Verfahren leidet nämlich, so wie Herr McColl es dargestellt, an einem prinzipiellen Fehler, welcher entspringt aus dem Doppelsinn des Wortes „obere resp. untere Grenze“, der durch McColl’s Erklärung eingeführt worden. Die obere Grenze b und untere a eines Integrals: [FORMEL] f (x) d x ist nicht immer eine solche in dem Sinne McColl’s, wonach unbedingt (a < x) (x < b) gelten müsste, sondern ebensogut mag auch umgekehrt (b < x) (x <a) gelten. Im letzteren Falle, wo b < a ist, kann man ja bekanntlich durch Vertauschung der beiden Grenzen, was unter Vor- ansetzung eines Minuszeichens, Zeichenänderung des Integrals, gestattet ist, in Gestalt des Ansatzes: — [FORMEL] f (x) d x den ersteren Fall herstellen, und kommt das betreffende Integral der- gestalt angesetzt mit Grenzen im McColl’schen Sinne, von welchen 34*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 531. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/175>, abgerufen am 08.05.2024.