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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.

oder rechts auf 0 gebracht
(A B1 + A1 B) (x y1 + x1 y) = 0.
Durch Elimination von x, y erhalten wir die Resultante:
A B1 + A1 B = 0 oder A = B
als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass A x + B x1 un-
abhängig von x werde.

In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1
einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher:

p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s	= p
p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s	= q
p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s	= r
p q r + q1 r1 s = p s	= s

Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung
mit a c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der
Unabhängigkeit des (a b) (b c) von b zu gewinnen, so sind die
vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem
Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt.
Man erhält:
p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0
p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0,
und als ihre vereinigte Gleichung

d3)	(p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1,

oder endlich auch
(p q r s p + q + r) (p q s r p + q + s) (p r s q p + r + s) (q r s p q + r + s),
d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und
der Summe der drei andern liegen.

Um diese Gleichung d3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze
man sie durch die beiden:
p s1 + p1 s = e, q r1 + q1 r = e;
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:
p = a e1 + b e p1 = a1 e1 + b1 e q = g e1 + d e q1 = g1 e1 + d1 e
s = a e1 + b1 e s1 = a1 e1 + b e r = g e1 + d1 e r1 = g1 e1 + d e

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1
einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher:

δ2

p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s	= p
p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s	= q
p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s	= r
p q r + q1 r1 s = p s	= s

Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung
mit a ∘ c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der
Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b zu gewinnen, so sind die
vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem
Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt.
Man erhält:
p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0
p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0
p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0,
und als ihre vereinigte Gleichung

δ3)	(p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1,

Um diese Gleichung δ3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze
man sie durch die beiden:
p s1 + p1 s = ε, q r1 + q1 r = ε;
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:
p = α ε1 + β ε p1 = α1 ε1 + β1 ε q = γ ε1 + δ ε q1 = γ1 ε1 + δ1 ε
s = α ε1 + β1 ε s1 = α1 ε1 + β ε r = γ ε1 + δ1 ε r1 = γ1 ε1 + δ ε

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[504/0148] Siebenundzwanzigste Vorlesung. oder rechts auf 0 gebracht (A B1 + A1 B) (x y1 + x1 y) = 0. Durch Elimination von x, y erhalten wir die Resultante: A B1 + A1 B = 0 oder A = B als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass A x + B x1 un- abhängig von x werde. In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von b und b1 einander gleich sein, und zwar für beliebige a, c; es folgt daher: δ2 p + s = p q + q r1 + q1 r + q1 s = p p q + q r + p1 q1 s = p q + q s1 + q1 r s = q p r + q r + p1 r1 s = p r + r s1 + q r1 s = r p q r + q1 r1 s = p s = s Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung mit a ∘ c ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b zu gewinnen, so sind die vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach q, r oder q r entwickelt. Man erhält: p1 s1 (q r1 + q1 r) + p1 s · q r + p s1 · q1 r1 = 0 p1 s (q r + q1 r1) + p1 s1 · q r1 + p s · q1 r = 0 p1 s (q r + q1 r1) + p s · q r1 + p1 s1 · q1 r = 0 p s (q r1 + q1 r) + p s1 · q r + p1 s · q1 r1 = 0, und als ihre vereinigte Gleichung δ3) (p s1 + p1 s) (q r + q1 r1) + (p s + p1 s1) (q r1 + q1 r) = 0, oder p s1 + p1 s = q r1 + q1 r, oder p s + p1 s1 = q r + q1 r1, oder endlich auch (p q r s p + q + r) (p q s r p + q + s) (p r s q p + r + s) (q r s p q + r + s), d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und der Summe der drei andern liegen. Um diese Gleichung δ3) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze man sie durch die beiden: p s1 + p1 s = ε, q r1 + q1 r = ε; dann erhält man nach Bd. 1, S. 514: p = α ε1 + β ε p1 = α1 ε1 + β1 ε q = γ ε1 + δ ε q1 = γ1 ε1 + δ1 ε s = α ε1 + β1 ε s1 = α1 ε1 + β ε r = γ ε1 + δ1 ε r1 = γ1 ε1 + δ ε

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 504. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/148>, abgerufen am 27.04.2024.

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