Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.

Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt
8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den p, q
bezw. r, s entwickelt, zu je zweien übereinstimmen:
a1 p q + 0 · p q1 + (a d + a1 d1) p1 q + d p1 q1 = 0
a1 p q + 0 · p q1 + (b c + b1 c1) p1 q + d p1 q1 = 0
a1 r s + 0 · r s1 + (a d + a1 d1) r1 s + d r1 s1 = 0
a1 r s + 0 · r s1 + (b c + b1 c1) r1 s + d r1 s1 = 0.
Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also:
a1 (p q + r s) + (a d + a1 d1 + b c + b1 c1) (p1 q + r1 s) + d (p1 q1 + r1 s1) = 0.

d) Eine Knüpfung soll dem Gesetze
d1) (a b) (b c) = a c
genügen. Also bilde
p (a b) (b c) + q (a b) (b c) + r (a b) (b c) + s (a b) (b c) =
= p {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} +
+ q {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} +
+ r {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} +
+ s {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} =
= p (p a + r a1) (p c + q c1) b + p (q a + s a1) (r c + s c1) b1 +
+ q (p a + r a1) (p1 c + q1 c1) b + q (q a + s a1) (r1 c + s1 c1) b1 +
+ r (p1 a + r1 a1) (p c + q c1) b + r (q1 a + s1 a1) (r c + s c1) b1 +
+ s (p1 a + r1 a1) (p1 c + q1 c1) b + s (q1 a + s1 a1) (r1 c + s1 c1) b1 =
= (p + s) a b c + (p q + q r + p1 q1 s) a b c1 +
+ (p q + q r1 + q1 r + q1 s) a b1 c + (p q + q s1 + q1 r s) a b1 c1 +
+ (p r + q r + p1 r1 s) a1 b c + (p q r + q1 r1 s) a1 b c1 +
+ (p r + q r1 s + r s1) a1 b1 c + p s a1 b1 c1 =
= {(p + s) a c + (p q + q r + p1 q1 s) a c1 + (p r + q r + p1 r1 s) a1 c + (p q r + q1 r1 s) a1 c1} b +
+ {(p q + q r1 + q1 r + q1 s) a c + (p q + q s1 + q1 r s) a c1 + (p r + q r1 s + r s1) a1 c + p s a1 c1} b1.

Dies soll gleich werden dem Ausdruck:
a c = p a c + q a c1 + r a1 c + s a1 c1,
also nur scheinbar eine Funktion von b, in Wirklichkeit unabhängig
von b sein. Wenn nun etwa die Funktion
f (x) = A x + B x1
konstant inbezug auf x sein soll, so ist für beliebige x, y
f (x) = f (y), A x + B x1 + A y + B y1

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.

δ) Eine Knüpfung soll dem Gesetze
δ1) (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) = a ∘ c
genügen. Also bilde
p (a ∘ b) (b ∘ c) + q (a ∘ b) (b̅ ∘̅ c̅) + r (a̅ ∘̅ b̅) (b ∘ c) + s (a̅ ̅b̅) (b̅ ∘̅ c̅) =
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Dies soll gleich werden dem Ausdruck:
a ∘ c = p a c + q a c1 + r a1 c + s a1 c1,
also nur scheinbar eine Funktion von b, in Wirklichkeit unabhängig
von b sein. Wenn nun etwa die Funktion
f (x) = A x + B x1
konstant inbezug auf x sein soll, so ist für beliebige x, y
f (x) = f (y), A x + B x1 + A y + B y1

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[503/0147] § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt 8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den p, q bezw. r, s entwickelt, zu je zweien übereinstimmen: a1 p q + 0 · p q1 + (a d + a1 d1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 p q + 0 · p q1 + (b c + b1 c1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (a d + a1 d1) r1 s + d r1 s1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (b c + b1 c1) r1 s + d r1 s1 = 0. Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also: a1 (p q + r s) + (a d + a1 d1 + b c + b1 c1) (p1 q + r1 s) + d (p1 q1 + r1 s1) = 0. δ) Eine Knüpfung soll dem Gesetze δ1) (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) = a ∘ c genügen. Also bilde p (a ∘ b) (b ∘ c) + q (a ∘ b) (b̅ ∘̅ c̅) + r (a̅ ∘̅ b̅) (b ∘ c) + s (a̅ ̅b̅) (b̅ ∘̅ c̅) = = p {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} + + q {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} + + r {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} + + s {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} = = p (p a + r a1) (p c + q c1) b + p (q a + s a1) (r c + s c1) b1 + + q (p a + r a1) (p1 c + q1 c1) b + q (q a + s a1) (r1 c + s1 c1) b1 + + r (p1 a + r1 a1) (p c + q c1) b + r (q1 a + s1 a1) (r c + s c1) b1 + + s (p1 a + r1 a1) (p1 c + q1 c1) b + s (q1 a + s1 a1) (r1 c + s1 c1) b1 = = (p + s) a b c + (p q + q r + p1 q1 s) a b c1 + + (p q + q r1 + q1 r + q1 s) a b1 c + (p q + q s1 + q1 r s) a b1 c1 + + (p r + q r + p1 r1 s) a1 b c + (p q r + q1 r1 s) a1 b c1 + + (p r + q r1 s + r s1) a1 b1 c + p s a1 b1 c1 = = {(p + s) a c + (p q + q r + p1 q1 s) a c1 + (p r + q r + p1 r1 s) a1 c + (p q r + q1 r1 s) a1 c1} b + + {(p q + q r1 + q1 r + q1 s) a c + (p q + q s1 + q1 r s) a c1 + (p r + q r1 s + r s1) a1 c + p s a1 c1} b1. Dies soll gleich werden dem Ausdruck: a ∘ c = p a c + q a c1 + r a1 c + s a1 c1, also nur scheinbar eine Funktion von b, in Wirklichkeit unabhängig von b sein. Wenn nun etwa die Funktion f (x) = A x + B x1 konstant inbezug auf x sein soll, so ist für beliebige x, y f (x) = f (y), A x + B x1 + A y + B y1

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 503. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/147>, abgerufen am 27.04.2024.

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