Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den p, q bezw. r, s entwickelt, zu je zweien übereinstimmen: a1 p q + 0 · p q1 + (a d + a1 d1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 p q + 0 · p q1 + (b c + b1 c1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (a d + a1 d1) r1 s + d r1 s1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (b c + b1 c1) r1 s + d r1 s1 = 0. Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also: a1 (p q + r s) + (a d + a1 d1 + b c + b1 c1) (p1 q + r1 s) + d (p1 q1 + r1 s1) = 0. d) Eine Knüpfung soll dem Gesetze Dies soll gleich werden dem Ausdruck: § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den p, q bezw. r, s entwickelt, zu je zweien übereinstimmen: a1 p q + 0 · p q1 + (a d + a1 d1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 p q + 0 · p q1 + (b c + b1 c1) p1 q + d p1 q1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (a d + a1 d1) r1 s + d r1 s1 = 0 a1 r s + 0 · r s1 + (b c + b1 c1) r1 s + d r1 s1 = 0. Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also: a1 (p q + r s) + (a d + a1 d1 + b c + b1 c1) (p1 q + r1 s) + d (p1 q1 + r1 s1) = 0. δ) Eine Knüpfung soll dem Gesetze Dies soll gleich werden dem Ausdruck: <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0147" n="503"/><fw place="top" type="header">§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.</fw><lb/> Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt<lb/> 8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi><lb/> bezw. <hi rendition="#i">r</hi>, <hi rendition="#i">s</hi> entwickelt, zu je zweien übereinstimmen:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">p q</hi> + 0 · <hi rendition="#i">p q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi> + <hi rendition="#i">d p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">p q</hi> + 0 · <hi rendition="#i">p q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + (<hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi> + <hi rendition="#i">d p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r s</hi> + 0 · <hi rendition="#i">r s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> + <hi rendition="#i">d r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">r s</hi> + 0 · <hi rendition="#i">r s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + (<hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi> + <hi rendition="#i">d r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0.</hi><lb/> Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">p q</hi> + <hi rendition="#i">r s</hi>) + (<hi rendition="#i">a d</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi>) + <hi rendition="#i">d</hi> (<hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">q</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">r</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = 0.</hi></p><lb/> <p><hi rendition="#i">δ</hi>) Eine Knüpfung soll dem <hi rendition="#i">Gesetze<lb/> δ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> ∘ <hi rendition="#i">b</hi>) ∘ (<hi rendition="#i">b</hi> ∘ <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> ∘ <hi rendition="#i">c</hi></hi><lb/> genügen. 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Wenn nun etwa die Funktion<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">A x</hi> + <hi rendition="#i">B x</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/> konstant inbezug auf <hi rendition="#i">x</hi> sein soll, so ist für beliebige <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">y</hi>), <hi rendition="#i">A x</hi> + <hi rendition="#i">B x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">A y</hi> + <hi rendition="#i">B y</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [503/0147]
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt
8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den p, q
bezw. r, s entwickelt, zu je zweien übereinstimmen:
a1 p q + 0 · p q1 + (a d + a1 d1) p1 q + d p1 q1 = 0
a1 p q + 0 · p q1 + (b c + b1 c1) p1 q + d p1 q1 = 0
a1 r s + 0 · r s1 + (a d + a1 d1) r1 s + d r1 s1 = 0
a1 r s + 0 · r s1 + (b c + b1 c1) r1 s + d r1 s1 = 0.
Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also:
a1 (p q + r s) + (a d + a1 d1 + b c + b1 c1) (p1 q + r1 s) + d (p1 q1 + r1 s1) = 0.
δ) Eine Knüpfung soll dem Gesetze
δ1) (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) = a ∘ c
genügen. Also bilde
p (a ∘ b) (b ∘ c) + q (a ∘ b) (b̅ ∘̅ c̅) + r (a̅ ∘̅ b̅) (b ∘ c) + s (a̅ ̅b̅) (b̅ ∘̅ c̅) =
= p {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} +
+ q {(p a + r a1) b + (q a + s a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} +
+ r {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p c + q c1) b + (r c + s c1) b1} +
+ s {(p1 a + r1 a1) b + (q1 a + s1 a1) b1} {(p1 c + q1 c1) b + (r1 c + s1 c1) b1} =
= p (p a + r a1) (p c + q c1) b + p (q a + s a1) (r c + s c1) b1 +
+ q (p a + r a1) (p1 c + q1 c1) b + q (q a + s a1) (r1 c + s1 c1) b1 +
+ r (p1 a + r1 a1) (p c + q c1) b + r (q1 a + s1 a1) (r c + s c1) b1 +
+ s (p1 a + r1 a1) (p1 c + q1 c1) b + s (q1 a + s1 a1) (r1 c + s1 c1) b1 =
= (p + s) a b c + (p q + q r + p1 q1 s) a b c1 +
+ (p q + q r1 + q1 r + q1 s) a b1 c + (p q + q s1 + q1 r s) a b1 c1 +
+ (p r + q r + p1 r1 s) a1 b c + (p q r + q1 r1 s) a1 b c1 +
+ (p r + q r1 s + r s1) a1 b1 c + p s a1 b1 c1 =
= {(p + s) a c + (p q + q r + p1 q1 s) a c1 + (p r + q r + p1 r1 s) a1 c + (p q r + q1 r1 s) a1 c1} b +
+ {(p q + q r1 + q1 r + q1 s) a c + (p q + q s1 + q1 r s) a c1 + (p r + q r1 s + r s1) a1 c + p s a1 c1} b1.
Dies soll gleich werden dem Ausdruck:
a ∘ c = p a c + q a c1 + r a1 c + s a1 c1,
also nur scheinbar eine Funktion von b, in Wirklichkeit unabhängig
von b sein. Wenn nun etwa die Funktion
f (x) = A x + B x1
konstant inbezug auf x sein soll, so ist für beliebige x, y
f (x) = f (y), A x + B x1 + A y + B y1
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 503. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/147>, abgerufen am 18.02.2025. |