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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.
aus der vierten Zeile:
a b + d + a1 b1 g,(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d + a b e,
a b + (a + b + g) d,a1 b1 g + (a1 + b1) d + a b e,
aus der fünften Zeile:
(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d + a b e1,a1 b1 g + (a1 + b1) d,
a1 b1 g + (a1 + b1) d + a b e1,*(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d,
endlich aus der sechsten (und siebenten) Zeile:
a1 b1 g + (a1 + b1) d + a b e1,(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d,
(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d + a b e1,a1 b1 g + (a1 + b1) d.

An neuen Koeffizienten sind hiernach nur die beiden besternten *
zu den bisherigen 18 hinzugekommen. Auch ergaben sich nur vierer-
lei Paare, von denen das erste und letzte schon bei x y z vorkamen.

Um fortzufahren, haben wir also nur noch die beiden neuentstandenen
Paare demselben Algorithmus zu unterwerfen. Das erste von diesen
(in der zweiten oder dritten unserer Koeffizientenzeilen) liefert:

a1 b1 g + (a + b) d + a b,(a1 + b1) d + a b e,
a b + d,a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d + a b e,
das andere (in der sechsten oder siebenten Zeile):
a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d + a b e1,(a1 + b1) d,
(a1 + b1) d + a b e1,a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d.
Diese Paare sind aber sämtlich unter x y z u schon vorgekommen,
sodass wir den Abschluss erreicht haben.

Es können sonach in allen symbolischen Produkten aus noch so
viel Faktoren nicht mehr als die bisherigen 20 Koeffizienten vorkommen,
die sich in den Knüpfungen aus 2, 3, 4 und 5 symbolischen Faktoren
erstmals vollständig zusammenfinden, von da ab nur wiederholen.

Ist nun ein symbolisches Produkt von N Faktoren gegeben, wohl-
geordnet und so hingeschrieben, dass die Glieder seiner Entwicklung
zu je zweien in einer Zeile stehen, wie oben in b4) und b6), und man
will das symbolische Produkt aus N + 1 Faktoren bilden, so wird jede
Zeile des gegebenen Produktes zwei Zeilen des gesuchten, jedes gegebene
Koeffizientenpaar einer Zeile deren zwei neue liefern. Die folgende
Tafel b9) gibt zu jedem Koeffizientenpaar (links einer {-Klammer) die
beiden daraus hervorgehenden Koeffizientenpaare (rechts), wobei ich
mich der im nachstehenden Koeffizientenverzeichniss b7) gedeuteten Buch-
stabenbezeichnungen bediene.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.
aus der vierten Zeile:
α β + δ + α1 β1 γ,(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε,
α β + (α + β + γ) δ,α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε,
aus der fünften Zeile:
(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1,α1 β1 γ + (α1 + β1) δ,
α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1,*(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ,
endlich aus der sechsten (und siebenten) Zeile:
α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1,(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ,
(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1,α1 β1 γ + (α1 + β1) δ.

An neuen Koeffizienten sind hiernach nur die beiden besternten *
zu den bisherigen 18 hinzugekommen. Auch ergaben sich nur vierer-
lei Paare, von denen das erste und letzte schon bei x ∘ y ∘ z vorkamen.

Um fortzufahren, haben wir also nur noch die beiden neuentstandenen
Paare demselben Algorithmus zu unterwerfen. Das erste von diesen
(in der zweiten oder dritten unserer Koeffizientenzeilen) liefert:

α1 β1 γ + (α + β) δ + α β,(α1 + β1) δ + α β ε,
α β + δ,α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε,
das andere (in der sechsten oder siebenten Zeile):
α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1,(α1 + β1) δ,
(α1 + β1) δ + α β ε1,α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ.
Diese Paare sind aber sämtlich unter x ∘ y ∘ z ∘ u schon vorgekommen,
sodass wir den Abschluss erreicht haben.

Es können sonach in allen symbolischen Produkten aus noch so
viel Faktoren nicht mehr als die bisherigen 20 Koeffizienten vorkommen,
die sich in den Knüpfungen aus 2, 3, 4 und 5 symbolischen Faktoren
erstmals vollständig zusammenfinden, von da ab nur wiederholen.

Ist nun ein symbolisches Produkt von N Faktoren gegeben, wohl-
geordnet und so hingeschrieben, dass die Glieder seiner Entwicklung
zu je zweien in einer Zeile stehen, wie oben in β4) und β6), und man
will das symbolische Produkt aus N + 1 Faktoren bilden, so wird jede
Zeile des gegebenen Produktes zwei Zeilen des gesuchten, jedes gegebene
Koeffizientenpaar einer Zeile deren zwei neue liefern. Die folgende
Tafel β9) gibt zu jedem Koeffizientenpaar (links einer {-Klammer) die
beiden daraus hervorgehenden Koeffizientenpaare (rechts), wobei ich
mich der im nachstehenden Koeffizientenverzeichniss β7) gedeuteten Buch-
stabenbezeichnungen bediene.

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[498/0142] Siebenundzwanzigste Vorlesung. aus der vierten Zeile: α β + δ + α1 β1 γ, (α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε, α β + (α + β + γ) δ, α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε, aus der fünften Zeile: (α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1, α1 β1 γ + (α1 + β1) δ, α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1, *(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ, endlich aus der sechsten (und siebenten) Zeile: α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1, (α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ, (α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1, α1 β1 γ + (α1 + β1) δ. An neuen Koeffizienten sind hiernach nur die beiden besternten * zu den bisherigen 18 hinzugekommen. Auch ergaben sich nur vierer- lei Paare, von denen das erste und letzte schon bei x ∘ y ∘ z vorkamen. Um fortzufahren, haben wir also nur noch die beiden neuentstandenen Paare demselben Algorithmus zu unterwerfen. Das erste von diesen (in der zweiten oder dritten unserer Koeffizientenzeilen) liefert: α1 β1 γ + (α + β) δ + α β, (α1 + β1) δ + α β ε, α β + δ, α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε, das andere (in der sechsten oder siebenten Zeile): α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1, (α1 + β1) δ, (α1 + β1) δ + α β ε1, α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ. Diese Paare sind aber sämtlich unter x ∘ y ∘ z ∘ u schon vorgekommen, sodass wir den Abschluss erreicht haben. Es können sonach in allen symbolischen Produkten aus noch so viel Faktoren nicht mehr als die bisherigen 20 Koeffizienten vorkommen, die sich in den Knüpfungen aus 2, 3, 4 und 5 symbolischen Faktoren erstmals vollständig zusammenfinden, von da ab nur wiederholen. Ist nun ein symbolisches Produkt von N Faktoren gegeben, wohl- geordnet und so hingeschrieben, dass die Glieder seiner Entwicklung zu je zweien in einer Zeile stehen, wie oben in β4) und β6), und man will das symbolische Produkt aus N + 1 Faktoren bilden, so wird jede Zeile des gegebenen Produktes zwei Zeilen des gesuchten, jedes gegebene Koeffizientenpaar einer Zeile deren zwei neue liefern. Die folgende Tafel β9) gibt zu jedem Koeffizientenpaar (links einer {-Klammer) die beiden daraus hervorgehenden Koeffizientenpaare (rechts), wobei ich mich der im nachstehenden Koeffizientenverzeichniss β7) gedeuteten Buch- stabenbezeichnungen bediene.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 498. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/142>, abgerufen am 28.04.2024.