Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.

Nennt man hier m und n die Koeffizienten und m … u + n … u₁
die beiden Glieder in irgend einer Zeile, und substituirt nun u ∘ v für u
resp. u̅ ∘̅ v̅ für u₁, so entsteht daraus
m … (p u v + q u v₁ + r u₁ v + s u₁ v₁) +
+ n … (p₁ u v + q₁ u v₁ + r₁ u₁ v + s₁ u₁ v₁) =
= (m p + n p₁) … u v + (m q + n q₁) … u v₁ +
+ (m r + n r₁) … u₁ v + (m s + n s₁) … u₁ v₁;
es ist damit angedeutet, auf welche Weise die Koeffizienten bei Hin-
zutritt eines weiteren symbolischen Faktors aus den vorigen abzuleiten
sind. Und zwar gilt diese Ableitung offenbar allgemein auch für die
Fortsetzung und Ausdehnung des Verfahrens auf noch mehr Faktoren.

Ein Bildungsgesetz für die Koeffizienten muss sich indessen er-
geben, wenn wir bis zu einem Produkt aus höchstens 8 symbolischen
Faktoren weiter gehen, weil spätestens von da ab die früheren Koeffizienten
sich nur immer wiederholen müssen.

Denn die Charakteristik fordert das Wegfallen der Hälfte von den
16 Konstituenten in p, q, r, s, und mit den übrigen 8 können blos
2⁸ = 256 verschiedene Ausdrücke gebildet werden, — eben nur so viele,
als das entwickelte symbolische Produkt der 8 Terme Glieder aufweist.

Doch reduzirt sich die Zahl der zu gedachtem Zweck zu berechnenden
Koeffizienten noch ganz erheblich. Zunächst nämlich ist zu beachten,
dass zu den 4 Koeffizienten von x ∘ y und den 2³ = 8 Koeffizienten
von x ∘ y ∘ z zuletzt mit x ∘ y ∘ z ∘ u statt 2⁴ = 16 nur 6 neue verschiedene
hinzugekommen sind, da in β₆) nur die 10 in β₅) zusammengestellten
Koeffizienten von einander verschieden sind, von diesen aber wieder
das erste und das letzte Koeffizientenpaar (in β₆)) schon bei x ∘ y vor-
kommt. Diese beiden Paare liefern ebenso, wie die Koeffizienten von
x ∘ y ∘ z, auch die vier ersten und die vier letzten Koeffizienten von
x ∘ y ∘ z ∘ u ∘ v.

In diesem letzteren Ausdruck werden aber zudem von den übrigen
2⁵ — 8 = 24 zu berechnenden Koeffizienten jedenfalls weitere 8 doppelt
auftreten, nämlich je die 4, welche der zweiten oder dritten bezw. der
sechsten oder siebenten Zeile in β₆) entstammen, wegen der Überein-
stimmung dieser beiden Zeilenpaare in den Koeffizienten.

Für die hiernach noch übrigen 16 Koeffizienten berechnen sich
folgende Werte, und zwar
aus der zweiten (und dritten) Zeile von β₆) die viere:

α β + (α + β + γ) δ,	α_1 β_1 γ + (α_1 + β_1) δ + α β ε,
*α β + δ + α_1 β_1 γ,	(α β_1 + α_1 β + α_1 β_1 γ) δ + α β ε,

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