Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Frau Franklin-Ladd macht in ihrer mehrerwähnten Rezension meines
Bd. 1 noch einen Ausfall gegen eine Stelle S. 75 sq. dieses Bd. 1, wo ich
zwar wol den Gegensatz zwischen positiven und den zugehörigen negativen
Begriffen, als relative Unterscheidung, nicht aber eine Einteilung der Begriffe,
in absolutem Sinne, in positive und negative in das System aufnehmen zu
können erkläre, weil es an einem Kennzeichen dafür gebricht, welcher von
zwei einander kontradiktorisch entgegengesetzten Begriffen, wie nützlich und
schädlich, parallel und schneidend, direkt oder unmittelbar und indirekt
oder mittelbar, als der positive anzusehen sei.

Sie gibt mir solches nur zu für Begriffe, die ich hier kurz "einfache"
nenne, "so long as the quality which marks its signification is one and
indivisible" (cf. p. 129 unten), also für Begriffe mit "unteilbarem Inhalt",
wie "heiss, kalt, schwer, blau, parallel"; da sei es denn in der That einerlei,
ob man z. B. die Zahlen einteile in gerade (even) und nicht gerade, oder
etwa in ungerade (odd) und nicht ungerade. -- Anders dagegen bei "zusammen-
gesetzten" Begriffen (when we come to complex qualities); hier komme nämlich
den positiven wesentlich der Charakter eines identischen Produktes (com-
bination of quality elements), den negativen der einer Summe von Merk-
malen (alternation of qu. el.) zu; wonach beide extremely different seien.

Die Richtigstellung dieser Meinung wird für unsere Theorie umso
mehr Gewinn bringen, als Frau Franklin dabei ausging von einer schon
früher von ihr aufgestellten Formel betreffend die Konstitution eines jeden
("zusammengesetzten") Begriffes B: Seien a1, a2, a3, ... die Merkmale des Be-
griffs B (umfangslogisch verstanden, d. i. also jedes als Klasse der Objekte,
die das betreffende Merkmal besitzen) und i1, i2, i3, ... die Individuen, welche
derselbe unter sich begreift; dann ist
B = a1 a2 a3 ... (i1 + i2 + i3 ...);
in der That müssen, wie leicht einzusehen, die Merkmale als Faktoren, die
Individuen als Summanden in den Ausdruck des Begriffes eingehen. Man
kann dabei aber die Gruppe der Faktoren a, oder aber das Aggregat der
Summanden i unterdrücken; der Begriff ist das identische Produkt seiner
Merkmale; er ist auch die identische Summe seiner Individuen; und als das
eine oder andere ist er bereits völlig bestimmt.

Da nämlich i1 a1, i1 a2, ... oder nach Th. 20x) i1 a1 = i1, i1 a2 = i1, ...
ist, so bleibt B = i1 + i2 + i3 + ... Ebenso ist auch B = a1 a2 a3 ... ohne
den Aggregatfaktor, vorausgesetzt nur, dass die Gruppe der als wesentliche
Merkmale angesetzten Faktoren a eine vollständige ist. Denn dieser Aus-
druck bleibt ungeändert, wenn man ihn mit der Summe aller erdenklichen
Individuen -- als der identischen Eins -- multiplizirt -- Th. 21x) --.
Ist nun i ein nicht zur Kategorie des Begriffs gehöriges Individuum, so
muss dasselbe mindestens eines von den wesentlichen Merkmalen des Begriffes
entbehren, -- sagen wir das Merkmal a, welches sich unter den obigen
Faktoren sicher mit aufgezählt findet, jedoch auch durch eine multiplikative
Kombination von einigen oder allen diesen Faktoren vertreten sein kann.
Dann ist also a i = 0, und der betreffende Summand i fällt aus der aus-
multiplizirt gedachten Summe heraus, weshalb er denn schon in der nicht
ausmultiplizirten Summe unterdrückt werden mag; so gelangt man dann

Frau Franklin-Ladd macht in ihrer mehrerwähnten Rezension meines
Bd. 1 noch einen Ausfall gegen eine Stelle S. 75 sq. dieses Bd. 1, wo ich
zwar wol den Gegensatz zwischen positiven und den zugehörigen negativen
Begriffen, als relative Unterscheidung, nicht aber eine Einteilung der Begriffe,
in absolutem Sinne, in positive und negative in das System aufnehmen zu
können erkläre, weil es an einem Kennzeichen dafür gebricht, welcher von
zwei einander kontradiktorisch entgegengesetzten Begriffen, wie nützlich und
schädlich, parallel und schneidend, direkt oder unmittelbar und indirekt
oder mittelbar, als der positive anzusehen sei.

Sie gibt mir solches nur zu für Begriffe, die ich hier kurz „einfache“
nenne, „so long as the quality which marks its signification is one and
indivisible“ (cf. p. 129 unten), also für Begriffe mit „unteilbarem Inhalt“,
wie „heiss, kalt, schwer, blau, parallel“; da sei es denn in der That einerlei,
ob man z. B. die Zahlen einteile in gerade (even) und nicht gerade, oder
etwa in ungerade (odd) und nicht ungerade. — Anders dagegen bei „zusammen-
gesetzten“ Begriffen (when we come to complex qualities); hier komme nämlich
den positiven wesentlich der Charakter eines identischen Produktes (com-
bination of quality elements), den negativen der einer Summe von Merk-
malen (alternation of qu. el.) zu; wonach beide extremely different seien.

Die Richtigstellung dieser Meinung wird für unsere Theorie umso
mehr Gewinn bringen, als Frau Franklin dabei ausging von einer schon
früher von ihr aufgestellten Formel betreffend die Konstitution eines jeden
(„zusammengesetzten“) Begriffes B: Seien α1, α2, α3, … die Merkmale des Be-
griffs B (umfangslogisch verstanden, d. i. also jedes als Klasse der Objekte,
die das betreffende Merkmal besitzen) und i1, i2, i3, … die Individuen, welche
derselbe unter sich begreift; dann ist
B = α1 α2 α3 … (i1 + i2 + i3 …);
in der That müssen, wie leicht einzusehen, die Merkmale als Faktoren, die
Individuen als Summanden in den Ausdruck des Begriffes eingehen. Man
kann dabei aber die Gruppe der Faktoren α, oder aber das Aggregat der
Summanden i unterdrücken; der Begriff ist das identische Produkt seiner
Merkmale; er ist auch die identische Summe seiner Individuen; und als das
eine oder andere ist er bereits völlig bestimmt.

Da nämlich i1 α1, i1 α2, … oder nach Th. 20×) i1 α1 = i1, i1 α2 = i1, …
ist, so bleibt B = i1 + i2 + i3 + … Ebenso ist auch B = α1 α2 α3 … ohne
den Aggregatfaktor, vorausgesetzt nur, dass die Gruppe der als wesentliche
Merkmale angesetzten Faktoren α eine vollständige ist. Denn dieser Aus-
druck bleibt ungeändert, wenn man ihn mit der Summe aller erdenklichen
Individuen — als der identischen Eins — multiplizirt — Th. 21×) —.
Ist nun i ein nicht zur Kategorie des Begriffs gehöriges Individuum, so
muss dasselbe mindestens eines von den wesentlichen Merkmalen des Begriffes
entbehren, — sagen wir das Merkmal α, welches sich unter den obigen
Faktoren sicher mit aufgezählt findet, jedoch auch durch eine multiplikative
Kombination von einigen oder allen diesen Faktoren vertreten sein kann.
Dann ist also α i = 0, und der betreffende Summand i fällt aus der aus-
multiplizirt gedachten Summe heraus, weshalb er denn schon in der nicht
ausmultiplizirten Summe unterdrückt werden mag; so gelangt man dann