Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Sechzehnte Vorlesung.

Ebenso ist die Gleichung
A B C = 0
äquivalent einer jeden der drei Subsumtionen:
A B ⊆ C₁, A C ⊆ B₁, B C ⊆ A₁,
d. h. können die Behauptungen A, B und C nicht zusammen richtig
sein, schliessen sie selbdritt einander aus, so muss, wenn A zugleich
mit B gilt, C ungültig sein, desgleichen mit vertauschten Buch-
staben. Etc. —

Und ferner würde folgen: C ⊆ (A B)₁, somit nach Th. 3̅6̅_×):
C ⊆ A₁ + B₁, analog B ⊆ A₁ + C₁, A ⊆ B₁ + C₁,
und vice versā, d. h. wenn A gilt, so muss entweder B oder C (oder auch
B nebst C) ungültig sein. Etc.

Als eine Inkonsistenz, und damit nach Belieben auch als eine
Subsumtion, lässt jederzeit auch das „disjunktive“ Urteil sich darstellen.

Es kann von Urteilen dieser Art als von zweigliedrigen oder auch
von mehrgliedrigen gesprochen werden, und fassen wir zunächst den
einfachsten Fall in’s Auge.

„Disjunktives Urteil im weiteren Sinne“ — besser vielleicht, mit
einem Worte, „alternatives Urteil“ — nennen wir eine Aussage von
der Form:
A + B = i
mithin besagend — vgl. S. 57, Pr. ĪĪĪ, welches nach § 32, ε) reine
Identität wird —: Entweder gilt A, oder es gilt B. Kürzer: Es gilt A oder B.

Im Sinne unsrer Addition ist der Fall, wo A und B zugleich
gelten, damit nicht ausgeschlossen.

Nach bekannten Sätzen ist nun dies Urteil äquivalent der In-
konsistenz:
A₁ B₁ = 0,
d. h. es kommt nicht vor, dass weder A noch B gelte — und damit,
gemäss dem obigen Schema, ist es auch äquivalent einer jeden der
beiden Subsumtionen:
A₁ ⊆ B und B₁ ⊆ A,
d. h. wenn A nicht gilt, so muss B gelten; und: sooft B nicht gilt,
muss A gelten.

Dies bleibt auch bestehen, falls etwa obendrein noch
A B = 0
sein sollte, in welchem Falle nach Th. 3̅3̅₊) unser Urteil die Form
annimmt: