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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer
Anordnung genommen -- sintemal eben das Auftreten einer Prämisse
in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der
Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist.

Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen-
kalkul ist noch das Th. 21x):
A · i = A,
nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben
einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden
darf. Z. B. Wenn A gilt, so gilt A und ist zugleich 2 x 2 = 4, so-
wie umgekehrt: wenn A gilt und 2 x 2 = 4 ist, so gilt A.

Das Prinzip IIIx kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein-
facheres Prinzip vertreten werden -- einfacher, weil es nur auf zwei
(statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses:
Prinzip *InInIn. (A + B = i) = (A = i) + (B = i),
d. h. Gilt A oder B, so muss entweder A gelten, oder auch es muss B
gelten, und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt, so gilt A oder B.

Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub-
sumtion des Distributionsgesetzes 26x) und damit dieses selbst (das
volle Distributionsgesetz) beweisen lassen, und zwar wie folgt. Wir
wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung:
26x) (A + B) C A C + B C.
d. h. Gilt A oder B, und ausserdem C, so gilt A nebst C oder B
nebst C.

Denn nach der Voraussetzung -- im Hinblick, wenn man will
auf Th. 6x) als (A + B) C A + B -- gilt dann A oder B, wofür
nach Pr. InInIn gesagt werden darf: es gilt A, oder es gilt B. Da nun
nach Pr. I die Voraussetzung C bei beliebiger Gelegenheit wiederholt
werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden,
so können wir für letzteres auch sagen: es gilt A und zugleich (gilt)
C, oder es gilt B und zugleich C, d. h. aber: es gilt A C, oder es gilt
B C, was wiederum nach Pr. InInIn zusammenziehbar ist in: es gilt A C
oder B C, es gilt A C + B C, q. e. d.

Dass der obige Satz InInIn im Gebietekalkul nicht gilt, wurde schon
in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste
Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem
A durch die Annahme B = A1).

Da der Satz als ein auf Gebiete A und B bezüglicher gleichwol

§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer
Anordnung genommen — sintemal eben das Auftreten einer Prämisse
in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der
Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist.

Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen-
kalkul ist noch das Th. 2̅1̅×):
A · i = A,
nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben
einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden
darf. Z. B. Wenn A gilt, so gilt A und ist zugleich 2 × 2 = 4, so-
wie umgekehrt: wenn A gilt und 2 × 2 = 4 ist, so gilt A.

Das Prinzip III× kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein-
facheres Prinzip vertreten werden — einfacher, weil es nur auf zwei
(statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses:
Prinzip *ĪĪĪ. (A + B = i) = (A = i) + (B = i),
d. h. Gilt A oder B, so muss entweder A gelten, oder auch es muss B
gelten, und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt, so gilt A oder B.

Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub-
sumtion des Distributionsgesetzes 26×) und damit dieses selbst (das
volle Distributionsgesetz) beweisen lassen, und zwar wie folgt. Wir
wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung:
2̅6̅×) (A + B) C ⊆ A C + B C.
d. h. Gilt A oder B, und ausserdem C, so gilt A nebst C oder B
nebst C.

Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will
auf Th. 6̅×) als (A + B) C ⊆ A + B — gilt dann A oder B, wofür
nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt A, oder es gilt B. Da nun
nach Pr. I die Voraussetzung C bei beliebiger Gelegenheit wiederholt
werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden,
so können wir für letzteres auch sagen: es gilt A und zugleich (gilt)
C, oder es gilt B und zugleich C, d. h. aber: es gilt A C, oder es gilt
B C, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt A C
oder B C, es gilt A C + B C, q. e. d.

Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul nicht gilt, wurde schon
in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste
Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem
A durch die Annahme B = A1).

Da der Satz als ein auf Gebiete A und B bezüglicher gleichwol

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[57/0081] § 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet. so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer Anordnung genommen — sintemal eben das Auftreten einer Prämisse in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist. Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen- kalkul ist noch das Th. 2̅1̅×): A · i = A, nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden darf. Z. B. Wenn A gilt, so gilt A und ist zugleich 2 × 2 = 4, so- wie umgekehrt: wenn A gilt und 2 × 2 = 4 ist, so gilt A. Das Prinzip III× kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein- facheres Prinzip vertreten werden — einfacher, weil es nur auf zwei (statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses: Prinzip *ĪĪĪ. (A + B = i) = (A = i) + (B = i), d. h. Gilt A oder B, so muss entweder A gelten, oder auch es muss B gelten, und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt, so gilt A oder B. Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub- sumtion des Distributionsgesetzes 26×) und damit dieses selbst (das volle Distributionsgesetz) beweisen lassen, und zwar wie folgt. Wir wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung: 2̅6̅×) (A + B) C  A C + B C. d. h. Gilt A oder B, und ausserdem C, so gilt A nebst C oder B nebst C. Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will auf Th. 6̅×) als (A + B) C  A + B — gilt dann A oder B, wofür nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt A, oder es gilt B. Da nun nach Pr. I die Voraussetzung C bei beliebiger Gelegenheit wiederholt werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden, so können wir für letzteres auch sagen: es gilt A und zugleich (gilt) C, oder es gilt B und zugleich C, d. h. aber: es gilt A C, oder es gilt B C, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt A C oder B C, es gilt A C + B C, q. e. d. Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul nicht gilt, wurde schon in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem A durch die Annahme B = A1). Da der Satz als ein auf Gebiete A und B bezüglicher gleichwol

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 57. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/81>, abgerufen am 27.04.2024.