bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt (und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):
Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in ein Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete 0 und i (welch' letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be- schränken, -- wie es hier angezeigt sein wird -- so können doch unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der Regel nicht "Formeln" sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.
Dasselbe mögen wir schreiben: C AB, wo C, A, B die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten: C = (ab), A = (bc), B = (ac).
Die Voraussetzungen C und A unsres Satzes mögen hier nach Be- lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge- biete 0 und i umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine Symbole. Nicht so aber dann das Symbol B für die Behauptung des Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von C und A festgelegt sind, nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn C und A die i zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, i ist daher die Proposition C AB nicht allgemeingültig, keine Formel, weshalb auch die dual entsprechende: BC + A hier nicht zu gelten braucht. -- Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den Umstand, dass in unsern Aussagen A, B, C die Symbole a, b, c ganz allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. --
Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.
Immer aber gelten unsre Formeln blos "gebietsdual" umgeschrieben ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige Formeln, wenn man nur die primären oder gebietsrechnerisch ver- wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, P und S, und umtauscht, dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg- liche) auftreten.
Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner
§ 30. Aufhören des Dualismus.
bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt (und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):
Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in ein Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete 0 und i (welch’ letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be- schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der Regel nicht „Formeln“ sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.
Dasselbe mögen wir schreiben: C A⊆B, wo C, A, B die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten: C = (a⊆b), A = (b⊆c), B = (a⊆c).
Die Voraussetzungen C und A unsres Satzes mögen hier nach Be- lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge- biete 0 und i umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine Symbole. Nicht so aber dann das Symbol B für die Behauptung des Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von C und A festgelegt sind, nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn C und A die i zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, i ist daher die Proposition C A⊆B nicht allgemeingültig, keine Formel, weshalb auch die dual entsprechende: B⊆C + A hier nicht zu gelten braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den Umstand, dass in unsern Aussagen A, B, C die Symbole a, b, c ganz allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —
Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.
Immer aber gelten unsre Formeln blos „gebietsdual“ umgeschrieben ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige Formeln, wenn man nur die primären oder gebietsrechnerisch ver- wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, Π und Σ, ⊆ und ⊆ umtauscht, dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg- liche) auftreten.
Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner
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[47/0071]
§ 30. Aufhören des Dualismus.
bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt
(und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):
Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in ein
Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete
0 und i (welch’ letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be-
schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch
unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der
Regel nicht „Formeln“ sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa
bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.
Dasselbe mögen wir schreiben:
C A  B,
wo C, A, B die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten:
C = (a  b), A = (b  c), B = (a  c).
Die Voraussetzungen C und A unsres Satzes mögen hier nach Be-
lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge-
biete 0 und i umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine
Symbole. Nicht so aber dann das Symbol B für die Behauptung des
Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von C und A festgelegt sind,
nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn C
und A die i zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, i
ist daher die Proposition C A  B nicht allgemeingültig, keine Formel,
weshalb auch die dual entsprechende: B  C + A hier nicht zu gelten
braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den
Umstand, dass in unsern Aussagen A, B, C die Symbole a, b, c ganz
allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —
Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben
der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.
Immer aber gelten unsre Formeln blos „gebietsdual“ umgeschrieben
ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige
Formeln, wenn man nur die primären oder gebietsrechnerisch ver-
wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, Π und Σ,  und  umtauscht,
dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als
Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg-
liche) auftreten.
Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch
in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien
wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche
nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 47. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/71>, abgerufen am 27.04.2024.
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