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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
"formell" ausmultiplizirt. Das allgemeine Glied des entwickelten (ex-
pandirten) Produkts hat die Form:
i1 i2 ... im j1 j2 ... jn,
wenn ik irgend ein Individuum aus pk, dagegen jk eines aus qk (bei
k = 1, 2, ... m resp. n) für den Augenblick bezeichnet.

Sooft nun keines der j mit irgend einem der i identisch ist, mit
welchen es zusammen ausgehoben worden und vorstehend zu einem
Einzelprodukte vereinigt erscheint, kann man sämtliche ausgehobnen i
zu x und sämtliche ausgehobnen j zu x1 schlagen und erhält eine
partikulare ("elementare") Lösung (Auflösung nach x) der Prämissen-
aussage.

Die vorliegende Aushebung ist dagegen unbrauchbar zu solchem
Zwecke, sooft eines der j mit einem der i zusammenfällt, sooft also
das Glied, wegen i i1 = 0 verschwinden würde, falls man in ihm die j
mit Negationsstrich versehen hätte. [In der vorgängigen Versehung aller
j mit Negationsstrichen -- schon vor dem Ausmultipliziren -- besteht
darnach wesentlich Herrn Voigt's "symbolisches Verfahren", alle
Lösungen x zu finden.] Und zwar auch nur dann, ausschliesslich in
diesem Falle, wird die betrachtete Aushebung unbrauchbar sein (eine
Lösung x abzugeben) vorausgesetzt, dass man auf das ohnehin eigent-
lich immer stattfindende Verschwinden jedes identischen Produkts von
verschiedenen Individuen, wie i1 i2, welches ja schon = 0 wäre, etc. bei
jenem "formellen" Ausmultipliziren keine Rücksicht nimmt. --

Vorstehendes ist wol der Kern der von Herrn Voigt gegebenen
Lösung des Auflösungs- und Eliminationsproblems -- von ihm auch
noch auf "mehrgliedrige partikulare Forderungen" entsprechend ausgedehnt
(die er, nebenbei gesagt, ebenso wie universale in Gleichungenform ansetzt
mittelst Einführung von 0 resp. 1 verschieden zu denkender unbestimmter
Klassen).

Jene Arbeit als eine "Lösung" gedachter Probleme zu bezeichnen ist
zutreffend in einem bestimmten Sinne des Wortes, nicht zutreffend in
einem andern.

Die Auflösung nach einer Unbekannten x erscheint in der That
vollständig geleistet insofern, als ein rein mechanisches Verfahren gegeben
ist, als die "Wurzeln" alle möglichen Arten aufzufinden, wie jene Unbe-
kannte aus den in die Parameterklassen p, q eingehenden Individuen über-
haupt zusammengesetzt werden kann. Vermissen lässt die "Lösung" dagegen
einen ebendiese Wurzeln übersichtlich zusammenfassenden Gesamtausdruck:
also eine allgemeine Formel für die Wurzel.

Das Eliminationsproblem aber erscheint nur insofern "gelöst", als die
Zusammensetzung der Parameterklassen p, q aus Individuen als eine gegebene
angesehen, dabei benutzt werden darf. Die Resultante tritt alsdann in

§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
„formell“ ausmultiplizirt. Das allgemeine Glied des entwickelten (ex-
pandirten) Produkts hat die Form:
i1 i2 … im j1 j2 … jn,
wenn iϰ irgend ein Individuum aus pϰ, dagegen jϰ eines aus qϰ (bei
ϰ = 1, 2, … m resp. n) für den Augenblick bezeichnet.

Sooft nun keines der j mit irgend einem der i identisch ist, mit
welchen es zusammen ausgehoben worden und vorstehend zu einem
Einzelprodukte vereinigt erscheint, kann man sämtliche ausgehobnen i
zu x und sämtliche ausgehobnen j zu x1 schlagen und erhält eine
partikulare („elementare“) Lösung (Auflösung nach x) der Prämissen-
aussage.

Die vorliegende Aushebung ist dagegen unbrauchbar zu solchem
Zwecke, sooft eines der j mit einem der i zusammenfällt, sooft also
das Glied, wegen i i1 = 0 verschwinden würde, falls man in ihm die j
mit Negationsstrich versehen hätte. [In der vorgängigen Versehung aller
j mit Negationsstrichen — schon vor dem Ausmultipliziren — besteht
darnach wesentlich Herrn Voigt’s „symbolisches Verfahren“, alle
Lösungen x zu finden.] Und zwar auch nur dann, ausschliesslich in
diesem Falle, wird die betrachtete Aushebung unbrauchbar sein (eine
Lösung x abzugeben) vorausgesetzt, dass man auf das ohnehin eigent-
lich immer stattfindende Verschwinden jedes identischen Produkts von
verschiedenen Individuen, wie i1 i2, welches ja schon = 0 wäre, etc. bei
jenem „formellen“ Ausmultipliziren keine Rücksicht nimmt. —

Vorstehendes ist wol der Kern der von Herrn Voigt gegebenen
Lösung des Auflösungs- und Eliminationsproblems — von ihm auch
noch auf „mehrgliedrige partikulare Forderungen“ entsprechend ausgedehnt
(die er, nebenbei gesagt, ebenso wie universale in Gleichungenform ansetzt
mittelst Einführung von 0 resp. 1 verschieden zu denkender unbestimmter
Klassen).

Jene Arbeit als eine „Lösung“ gedachter Probleme zu bezeichnen ist
zutreffend in einem bestimmten Sinne des Wortes, nicht zutreffend in
einem andern.

Die Auflösung nach einer Unbekannten x erscheint in der That
vollständig geleistet insofern, als ein rein mechanisches Verfahren gegeben
ist, als die „Wurzeln“ alle möglichen Arten aufzufinden, wie jene Unbe-
kannte aus den in die Parameterklassen p, q eingehenden Individuen über-
haupt zusammengesetzt werden kann. Vermissen lässt die „Lösung“ dagegen
einen ebendiese Wurzeln übersichtlich zusammenfassenden Gesamtausdruck:
also eine allgemeine Formel für die Wurzel.

Das Eliminationsproblem aber erscheint nur insofern „gelöst“, als die
Zusammensetzung der Parameterklassen p, q aus Individuen als eine gegebene
angesehen, dabei benutzt werden darf. Die Resultante tritt alsdann in

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[399/0423] § 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls. „formell“ ausmultiplizirt. Das allgemeine Glied des entwickelten (ex- pandirten) Produkts hat die Form: i1 i2 … im j1 j2 … jn, wenn iϰ irgend ein Individuum aus pϰ, dagegen jϰ eines aus qϰ (bei ϰ = 1, 2, … m resp. n) für den Augenblick bezeichnet. Sooft nun keines der j mit irgend einem der i identisch ist, mit welchen es zusammen ausgehoben worden und vorstehend zu einem Einzelprodukte vereinigt erscheint, kann man sämtliche ausgehobnen i zu x und sämtliche ausgehobnen j zu x1 schlagen und erhält eine partikulare („elementare“) Lösung (Auflösung nach x) der Prämissen- aussage. Die vorliegende Aushebung ist dagegen unbrauchbar zu solchem Zwecke, sooft eines der j mit einem der i zusammenfällt, sooft also das Glied, wegen i i1 = 0 verschwinden würde, falls man in ihm die j mit Negationsstrich versehen hätte. [In der vorgängigen Versehung aller j mit Negationsstrichen — schon vor dem Ausmultipliziren — besteht darnach wesentlich Herrn Voigt’s „symbolisches Verfahren“, alle Lösungen x zu finden.] Und zwar auch nur dann, ausschliesslich in diesem Falle, wird die betrachtete Aushebung unbrauchbar sein (eine Lösung x abzugeben) vorausgesetzt, dass man auf das ohnehin eigent- lich immer stattfindende Verschwinden jedes identischen Produkts von verschiedenen Individuen, wie i1 i2, welches ja schon = 0 wäre, etc. bei jenem „formellen“ Ausmultipliziren keine Rücksicht nimmt. — Vorstehendes ist wol der Kern der von Herrn Voigt gegebenen Lösung des Auflösungs- und Eliminationsproblems — von ihm auch noch auf „mehrgliedrige partikulare Forderungen“ entsprechend ausgedehnt (die er, nebenbei gesagt, ebenso wie universale in Gleichungenform ansetzt mittelst Einführung von 0 resp. 1 verschieden zu denkender unbestimmter Klassen). Jene Arbeit als eine „Lösung“ gedachter Probleme zu bezeichnen ist zutreffend in einem bestimmten Sinne des Wortes, nicht zutreffend in einem andern. Die Auflösung nach einer Unbekannten x erscheint in der That vollständig geleistet insofern, als ein rein mechanisches Verfahren gegeben ist, als die „Wurzeln“ alle möglichen Arten aufzufinden, wie jene Unbe- kannte aus den in die Parameterklassen p, q eingehenden Individuen über- haupt zusammengesetzt werden kann. Vermissen lässt die „Lösung“ dagegen einen ebendiese Wurzeln übersichtlich zusammenfassenden Gesamtausdruck: also eine allgemeine Formel für die Wurzel. Das Eliminationsproblem aber erscheint nur insofern „gelöst“, als die Zusammensetzung der Parameterklassen p, q aus Individuen als eine gegebene angesehen, dabei benutzt werden darf. Die Resultante tritt alsdann in

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 399. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/423>, abgerufen am 03.05.2024.