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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel.
ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedem
Gebiete rk der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer
Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sl der andern Reihe (mindestens)
ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen.*)

Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän-
dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre Ausschliessung zu
fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die
betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An-
nahmen bezügliche Teil-Klausel sein.

Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden
einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in
denen wo entweder h = 1 oder aber k = n -- h = 1 ist, wo also fast
alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern
Sorte gehört.

Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und
begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben r und s,
sowie von h mit k erforderlich, um die Antwort auch für den andern
Fall zu erhalten.

Sei also -- h = n -- 1 gedacht --:
r = r1 + r2 + ... + rh = s = s1
so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm-
barkeit eines solchen u, dass sein Produkt in jedes der rk 0 und
zugleich das Produkt seiner Negation u1 in das eine s1 0 ist,
wie folgt:

Sind einzelne von den Klassen rk singuläre, das ist Individuen, so
darf nicht die Summe der übrigen (der nicht singulären) Klassen rk ein-
geordnet sein der Summe von allen diesen.

Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rk mehr übrig, nämlich alle
rk Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist
hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle rk Individuen
wären. --

Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie
nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der r-
Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss S rk
oder r ganz in u hineinfallen. Jede singuläre Klasse rk muss nämlich
als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger-

*) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich-
niss angeführten Schriften mitgeteilt.

§ 49. Studien über die Klausel.
ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedem
Gebiete rϰ der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer
Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sλ der andern Reihe (mindestens)
ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen.*)

Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän-
dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre Ausschliessung zu
fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die
betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An-
nahmen bezügliche Teil-Klausel sein.

Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden
einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in
denen wo entweder h = 1 oder aber k = n — h = 1 ist, wo also fast
alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern
Sorte gehört.

Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und
begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben r und s,
sowie von h mit k erforderlich, um die Antwort auch für den andern
Fall zu erhalten.

Sei also — h = n — 1 gedacht —:
r = r1 + r2 + … + rh = s = s1
so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm-
barkeit eines solchen u, dass sein Produkt in jedes der rϰ ≠ 0 und
zugleich das Produkt seiner Negation u1 in das eine s1 ≠ 0 ist,
wie folgt:

Sind einzelne von den Klassen rϰ singuläre, das ist Individuen, so
darf nicht die Summe der übrigen (der nicht singulären) Klassen rϰ ein-
geordnet sein der Summe von allen diesen.

Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rϰ mehr übrig, nämlich alle
rϰ Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist
hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle rϰ Individuen
wären. —

Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie
nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der r-
Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss Σ rϰ
oder r ganz in u hineinfallen. Jede singuläre Klasse rϰ muss nämlich
als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger-

*) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich-
niss angeführten Schriften mitgeteilt.
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[393/0417] § 49. Studien über die Klausel. ist, die Fälle zu charakterisiren, in welchen es unmöglich ist, aus jedem Gebiete rϰ der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete sλ der andern Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zur Negation u1 dieser Klasse zu schlagen. *) Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän- dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre Ausschliessung zu fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An- nahmen bezügliche Teil-Klausel sein. Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in denen wo entweder h = 1 oder aber k = n — h = 1 ist, wo also fast alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern Sorte gehört. Ich will dieselbe für den letztern Fall k = 1 aussprechen und begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben r und s, sowie von h mit k erforderlich, um die Antwort auch für den andern Fall zu erhalten. Sei also — h = n — 1 gedacht —: r = r1 + r2 + … + rh = s = s1 so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm- barkeit eines solchen u, dass sein Produkt in jedes der rϰ ≠ 0 und zugleich das Produkt seiner Negation u1 in das eine s1 ≠ 0 ist, wie folgt: Sind einzelne von den Klassen rϰ singuläre, das ist Individuen, so darf nicht die Summe der übrigen (der nicht singulären) Klassen rϰ ein- geordnet sein der Summe von allen diesen. Da jene Summe 0 wäre, wenn kein rϰ mehr übrig, nämlich alle rϰ Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle rϰ Individuen wären. — Dass obige Bedingung notwendig ist, erkennt man so. Ist sie nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der r- Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss Σ rϰ oder r ganz in u hineinfallen. Jede singuläre Klasse rϰ muss nämlich als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger- *) Dies habe ich schon in 6 der unter meinem Namen im Literaturverzeich- niss angeführten Schriften mitgeteilt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 393. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/417>, abgerufen am 02.05.2024.