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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.

Eine nach A und B unsymmetrische Beziehung kann indess nach
A und B1 symmetrisch sein.

Ferner mag erinnert werden, dass man, um alle Propositionen
nach A und B "entwickelt" zu besitzen, nur nötig haben wird, in 1'
bis 41' die folgenden Symbole durch die ihnen gleichgesetzten zu
ersetzen:
A1 = A1 B + A1 B1, B1 = A B1 + A1 B1, A = A B + A B1, B = A B + A1 B,
desgleichen in 7' bis 10', 71' bis 14', 151' bis 26' und 191' bis 301' die
folgenden Ausdrücke:
A1 + B1 = A B1 + A1 B + A1 B1, A1 + B = A B + A1 B + A1 B1,
A + B1 = A B + A B1 + A1 B1, A + B = A B + A B1 + A1 B. --

Mit vorstehenden 30 Paaren von Beziehungen, sind diejenigen er-
schöpft, welche man im Hinblick auf ihre unmittelbar intuitive An-
schaulichkeit als die "fundamentalen" Beziehungen bezeichnen mag.

Die 8 ersten von ihnen: 1' .. 41' sind freilich nicht als eigentliche Be-
ziehungen (Relationen zwischen A und B) zu bezeichnen, indem sie augenschein-
lich je nur über eines dieser beiden Symbole für sich etwas aussagen oder
eine Information geben. Nach einem Vorgang aus der Lehre von den
höheren algebraischen Kurven und Gleichungen müssten sie, als Beziehungen
aufgefasst, "zerfallende" genannt, unter diese eingerechnet werden. "Zer-
fallend" haben wir S. 158 eine Beziehung zwischen A und B genannt,
wenn sie (additiv oder) multiplikativ (oder irgendwie) zerlegbar ist (nach
den Gesetzen des Aussagenkalkuls) in lauter solche Teilaussagen, deren
jede nur von einem dieser beiden Symbole handelt ohne Erwähnung des
andern -- Beispiele:
(A = 1) (B 0), (A = 1) + (B 0), (A = 1) (B 0) + (A = 0).
Die oben vorliegenden Hülfsbeziehungen zerfallen nun, wenn man will, in
eine Aussage, die nur das eine der beiden Symbole -- z. B. A -- betrifft,
von diesem aber wirklich etwas aussagt, und eine Aussage, das andre Symbol
-- dann B -- betreffend, die über dieses aber vollkommen nichtssagend,
eine leere Aussage ist -- wie es z. B. die Angabe, dass 0 · B = 0 ist, sein
würde. Solche Angabe kann man sich zu der andern jederzeit als Faktor
hinzugefügt denken; am besten wird man sie unterdrücken. -- Übrigens
können auch die Hülfsbeziehungen formell als solche, als scheinbar wirk-
liche Beziehungen angesetzt werden, indem man z. B. nach oben gegebener
Andeutung "entwickelnd" schreibt:
h = (A1 B + A1 B1 = 1), etc.

Die erwähnte Analogie von gewissen Beziehungen mit den zerfallenden
("degenerate") Kurven oder reduziblen algebraischen Gleichungen hat bei
einer andern Gelegenheit auch Herr Peirce 8 p. 180 bemerkt.

Dreiundzwanzigste Vorlesung.

Eine nach A und B unsymmetrische Beziehung kann indess nach
A und B1 symmetrisch sein.

Ferner mag erinnert werden, dass man, um alle Propositionen
nach A und B „entwickelt“ zu besitzen, nur nötig haben wird, in 1’
bis 41’ die folgenden Symbole durch die ihnen gleichgesetzten zu
ersetzen:
A1 = A1 B + A1 B1, B1 = A B1 + A1 B1, A = A B + A B1, B = A B + A1 B,
desgleichen in 7’ bis 10’, 71’ bis 14’, 151’ bis 26’ und 191’ bis 301’ die
folgenden Ausdrücke:
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A + B1 = A B + A B1 + A1 B1, A + B = A B + A B1 + A1 B. —

Mit vorstehenden 30 Paaren von Beziehungen, sind diejenigen er-
schöpft, welche man im Hinblick auf ihre unmittelbar intuitive An-
schaulichkeit als die „fundamentalen“ Beziehungen bezeichnen mag.

Die 8 ersten von ihnen: 1’ ‥ 41’ sind freilich nicht als eigentliche Be-
ziehungen (Relationen zwischen A und B) zu bezeichnen, indem sie augenschein-
lich je nur über eines dieser beiden Symbole für sich etwas aussagen oder
eine Information geben. Nach einem Vorgang aus der Lehre von den
höheren algebraischen Kurven und Gleichungen müssten sie, als Beziehungen
aufgefasst, „zerfallende“ genannt, unter diese eingerechnet werden. „Zer-
fallend“ haben wir S. 158 eine Beziehung zwischen A und B genannt,
wenn sie (additiv oder) multiplikativ (oder irgendwie) zerlegbar ist (nach
den Gesetzen des Aussagenkalkuls) in lauter solche Teilaussagen, deren
jede nur von einem dieser beiden Symbole handelt ohne Erwähnung des
andern — Beispiele:
(A = 1) (B ≠ 0), (A = 1) + (B ≠ 0), (A = 1) (B ≠ 0) + (A = 0).
Die oben vorliegenden Hülfsbeziehungen zerfallen nun, wenn man will, in
eine Aussage, die nur das eine der beiden Symbole — z. B. A — betrifft,
von diesem aber wirklich etwas aussagt, und eine Aussage, das andre Symbol
— dann B — betreffend, die über dieses aber vollkommen nichtssagend,
eine leere Aussage ist — wie es z. B. die Angabe, dass 0 · B = 0 ist, sein
würde. Solche Angabe kann man sich zu der andern jederzeit als Faktor
hinzugefügt denken; am besten wird man sie unterdrücken. — Übrigens
können auch die Hülfsbeziehungen formell als solche, als scheinbar wirk-
liche Beziehungen angesetzt werden, indem man z. B. nach oben gegebener
Andeutung „entwickelnd“ schreibt:
h = (A1 B + A1 B1 = 1), etc.

Die erwähnte Analogie von gewissen Beziehungen mit den zerfallenden
(„degenerate“) Kurven oder reduziblen algebraischen Gleichungen hat bei
einer andern Gelegenheit auch Herr Peirce 8 p. 180 bemerkt.

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[354/0378] Dreiundzwanzigste Vorlesung. Eine nach A und B unsymmetrische Beziehung kann indess nach A und B1 symmetrisch sein. Ferner mag erinnert werden, dass man, um alle Propositionen nach A und B „entwickelt“ zu besitzen, nur nötig haben wird, in 1’ bis 41’ die folgenden Symbole durch die ihnen gleichgesetzten zu ersetzen: A1 = A1 B + A1 B1, B1 = A B1 + A1 B1, A = A B + A B1, B = A B + A1 B, desgleichen in 7’ bis 10’, 71’ bis 14’, 151’ bis 26’ und 191’ bis 301’ die folgenden Ausdrücke: A1 + B1 = A B1 + A1 B + A1 B1, A1 + B = A B + A1 B + A1 B1, A + B1 = A B + A B1 + A1 B1, A + B = A B + A B1 + A1 B. — Mit vorstehenden 30 Paaren von Beziehungen, sind diejenigen er- schöpft, welche man im Hinblick auf ihre unmittelbar intuitive An- schaulichkeit als die „fundamentalen“ Beziehungen bezeichnen mag. Die 8 ersten von ihnen: 1’ ‥ 41’ sind freilich nicht als eigentliche Be- ziehungen (Relationen zwischen A und B) zu bezeichnen, indem sie augenschein- lich je nur über eines dieser beiden Symbole für sich etwas aussagen oder eine Information geben. Nach einem Vorgang aus der Lehre von den höheren algebraischen Kurven und Gleichungen müssten sie, als Beziehungen aufgefasst, „zerfallende“ genannt, unter diese eingerechnet werden. „Zer- fallend“ haben wir S. 158 eine Beziehung zwischen A und B genannt, wenn sie (additiv oder) multiplikativ (oder irgendwie) zerlegbar ist (nach den Gesetzen des Aussagenkalkuls) in lauter solche Teilaussagen, deren jede nur von einem dieser beiden Symbole handelt ohne Erwähnung des andern — Beispiele: (A = 1) (B ≠ 0), (A = 1) + (B ≠ 0), (A = 1) (B ≠ 0) + (A = 0). Die oben vorliegenden Hülfsbeziehungen zerfallen nun, wenn man will, in eine Aussage, die nur das eine der beiden Symbole — z. B. A — betrifft, von diesem aber wirklich etwas aussagt, und eine Aussage, das andre Symbol — dann B — betreffend, die über dieses aber vollkommen nichtssagend, eine leere Aussage ist — wie es z. B. die Angabe, dass 0 · B = 0 ist, sein würde. Solche Angabe kann man sich zu der andern jederzeit als Faktor hinzugefügt denken; am besten wird man sie unterdrücken. — Übrigens können auch die Hülfsbeziehungen formell als solche, als scheinbar wirk- liche Beziehungen angesetzt werden, indem man z. B. nach oben gegebener Andeutung „entwickelnd“ schreibt: h = (A1 B + A1 B1 = 1), etc. Die erwähnte Analogie von gewissen Beziehungen mit den zerfallenden („degenerate“) Kurven oder reduziblen algebraischen Gleichungen hat bei einer andern Gelegenheit auch Herr Peirce 8 p. 180 bemerkt.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 354. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/378>, abgerufen am 25.11.2024.

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